Comumente, os livros de matemática destinados à preparação para concursos, tratam da resolução de problemas referentes a números inteiros baseados nas regras de aritmética. Como essas são o resultado da solução dos problemas generalizados da álgebra, preferimos marchar para a solução dos problemas de números inteiros através da própria Álgebra, diretamente, por nos parecer de mais fácil entendimento por parte do aluno. Não pretendemos, com isso, ser diferente ou mesmo inovar, mas simplesmente seguir o desenvolvimento ordenado do nosso trabalho.
Outra razão da conveniência do modelo aqui proposto, é ligado à generalização dos fatos que, na aritmética, requer um raciocínio diferente para cada problema, enquanto que, na Álgebra, basta a formulação de uma equação ou de um sistema de equações e sua simples resolução. Assim, os problemas aqui propostos deverão ser vistos como questões algébricas, em que se apresentam uma ou mais quantidades conhecidas - que são os DADOS DO PROBLEMA - e se busca a identificação de uma ou mais quantidade desconhecidas, que são as INCÓGNITAS.
A solução algébrica de um problema qualquer consta de três partes:
1ª) a formulação da equação ou do sistema de equações;
2ª) a resolução propriamente dita da equação ou do sistema de equações;
3ª) a discussão da solução.
A primeira parte consiste em se expressar, em linguagem algébrica, através de símbolos matemáticos, a relação que existe entre as quantidades conhecidas e as incógnitas, de modo que, a equação formulada, satisfaça as condições do problema. Na segunda parte, procede-se à solução da equação ou sistema anteriormente formulado. A formulação da equação ou sistema de equações é a etapa mais importante para a solução dos problemas. O estudante deverá saber traduzir e interpretar sob a forma de equação o enunciado do problema, o que nem sempre é facilmente conseguido, exigindo, às vezes, um esforço de raciocínio lógico capaz de dispor os elementos do problema.
A terceira parte consiste em verificar se os resultados encontrados na solução da equação ou do sistema são, de fato, as soluções do problema.
Somente o exercício constante levará o aluno a desenvolver esta habilidade, com a vantagem adicional de estimular cada vez mais o seu raciocínio.
01) Adicionando-se a um número, a sua metade e em seguida a sua quinta parte, resulta 34. Calcular esse número.
Solução:Seja x o número procurado. Pelo enunciado do problema podemos
escrever:
Resolvendo a equação, temos: x = 20.
02) Qual o número cuja metade mais a terça parte é igual a 25.
Solução:
Seja x este número, de acordo com o enunciado, temos:
Que resolvida, nos dá: x = 30.
03) Qual o número que, somado com o triplo de si mesmo, resulta 52.
Solução:
Seja x o número procurado, então podemos escrever: x + 3x = 52.
Logo, x = 13.
04) O dobro de um número, mais cinco unidades é 27. Qual é esse número.
R: 11.
05) O triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. Calcule esse número.
R: 18.
06) Determinar o número cujo dobro aumentado da metade do mesmo número é igual ao triplo do número diminuído de 4.
R: 8.
07) Qual é o número que somado com a sua terça parte resulta 12.
R: 9.
08) O dobro de um número diminuído de 8 é igual à sua quarta parte aumentada de 13. Calcule esse número.
R: 12.
09) Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igual ao seu triplo menos 19.
Solução:
Seja x o número. Então, temos: 2x + 5 = 3x - 19, que resolvida nos dá: x = 24.
10) Acrescentando-se a um número a sua metade, e em seguida, a sua terça parte e depois a sua duodécima parte, obtém-se por soma 46. Calcule esse número.
Solução:
Seja x o número procurado.
. Que resolvida nos dá: x = 24.
11) Qual é o número que, se for multiplicado por sete, e ao produto se adicionar três e depois dividir tudo por dois e desse quociente subtrair quatro, resultará 15.
R: 5
12) A metade do triplo de um número, menos o dobro de sua terça parte, é uma unidade menos que o número dado. Calcule esse número.
R: 6
13) Dividiu-se um número por quatro e o resultado por 6. Somando-se os dois quocientes obtém-se 35. Calcular o primeiro dividendo.
R: 120
14) Dividiu-se um número por 5, o resultado por 9 e o novo resultado por 7. A soma dos dois últimos quocientes é 24. Calcular o número.
R: 945
15) O dobro da minha idade, aumentada de 1/2, dos 2/5, dos 3/10 dela e de 40 anos, resulta 200 anos. Achar a minha idade.
R: 50 anos
16) Depois de duplicar um número e diminuí-lo de duas unidades, duplica-se de novo o resultado, para, em seguida, subtrair duas unidades. Duplicando-se o novo resultado, encontramos 68 para resultado final. Calcule esse número.
R: 10
17) Uma pessoa possui um certo número de laranjas. Cada vez que se dobrar esse número ela dará 80 laranjas aos amigos. Dobraram-no três vezes, e, depois da terceira vez a pessoa ficou sem nenhuma laranja. Calcule quantas laranjas essa pessoa tinha no princípio.
R: 70
18) Uma pessoa para dar esmola, disse: Se me duplicarem o que possuo, darei $ 60,00 e cada vez que duplicarem acrescentarei $ 10,00 à esmola precedente. Mas para dar a quarta esmola faltam $ 50,00. Calcule quanto essa pessoa possuía no início.
R: $ 60,00
19) Dentre três números, calcule o segundo, sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 70; a soma do primeiro com o terceiro é 90 e a soma do segundo com o terceiro é 120.
Solução:
Sejam a, b e c o primeiro, segundo e terceiro números. Então, temos:
a + b = 70; a + c = 90; b + c = 120.
Somando-se membro a membro as três equações, resulta:
2a + 2b + 2c = 280.
Dividindo-se a equação resultante por 2, temos: a + b +c= 140.
Como a + c = 90, temos que 90 + b = 140.
Logo, b = 50.
20) Dentre três números, calcule o primeiro, sabendo que a soma do primeiro com o segundo seja 200; a do primeiro com o terceiro seja 208 e a do segundo com o terceiro seja 216.
R: 96
21) As idades de Roberto e Deisy somam 9 anos: a de Deisy e José 13 anos; a de José e Roberto 12 anos. Calcule a idade de Deisy.
R: 5
22) Dentre três números, calcule o terceiro, sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 50; a soma do primeiro com o terceiro é 60 e a soma do segundo com o terceiro é 70.
R: 40
23) Numa compra, três homens gastaram certa quantia. O primeiro e o segundo gastaram $ 200,00 mais do que o terceiro; o primeiro e o terceiro juntos gastaram $ 600,00 mais do que o segundo; enfim, o segundo e o terceiro juntos gastaram $ 100,00 mais do que o primeiro. Calcule quanto gastou o primeiro.
R: $ 400,00
24) Três pessoas possuem certa quantia. A primeira e a terceira juntas têm $4.000,00 mais que a segunda. A segunda e a terceira juntas têm $ 6.000,00 mais que a primeira. A primeira e a segunda juntas têm $ 2.000,00 mais que a terceira. Calcule quanto possui a segunda pessoa.
R: $ 4.000,00
25) O peso total de três caixas cheias de certa mercadoria é 60 kg. As caixas vazias pesam: a primeira com a segunda 7 kg; a primeira com a terceira 10 kg; a segunda com a terceira 11 kg. Calcule o peso da mercadoria das três caixas.
R: 46 kg
26) Dentre quatro números, a soma dos três primeiros é 8.500; a soma dos três últimos é 12.500; a soma dos dois primeiros e do último é 10.500,00 e a soma do primeiro com os dois últimos é 12.000. Calcule o primeiro número.
R: 2.000
27) Calcular a idade da terceira pessoa, num grupo de quatro pessoa sabendo-se que a soma das idades das três primeiras é 73 anos; das três últimas é 60 anos; que, das duas primeiras e da última, vale 68 anos: e da primeira com as duas últimas vale 63 anos.
R: 20 anos
28) A soma de dois números inteiros e consecutivos é 45. Calcule o primeiro número.
Solução:
Os números inteiros consecutivos são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Veja que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 1. Então, chamando-se de x o primeiro número, o segundo será x + 1. Temos:
x + x + 1 = 45 ⇒ 2x = 44 ⇒ x= 22
29) Determinar o maior, dentre três números inteiros e consecutivos, cuja soma é 102.
R: 35
30) A soma de dois números inteiros e consecutivos é igual a 17 vezes a sua diferença. Qual o maior dos números.
R: 9
31) Calcule o menor dentre dois números pares e consecutivos, cuja soma é 106.
Solução:
Os números pares e consecutivos são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
Observe que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 2.
Chamando-se o primeiro número de x, o outro será x + 2. Então, temos:
Olhe: Escrever um número em sua forma polinomial, é escrever esse número como uma soma. Generalizando-se, temos:
76) Um número tem três algarismos cuja soma dos valores absolutos é 21. O algarismo das dezena é 9. Substituindo-se os outros algarismos pelos seus sucessivos e invertendo-se a ordem dos mesmos, conservada a posição dos algarismos das dezenas, o número aumenta do 497 unidades. Calcule esse número.
85) Se eu colocar 8 laranjas em cada caixa que possuo, sobram 4 laranjas. Se eu colocar 10, uma das caixas ficaram faltando 2 laranjas. Calcule quantas são as caixas e as laranjas.
92) Em um ônibus viaja 35 passageiros em pé quando dois passageiros sentava em cada banco Se três passageiros sentassem em cada banco, sobrariam 5 bancos vazios. Determine o numero de bancos e quantos passageiros viajam no ônibus.
R: 50 bancos e 135 passageiros
93) Certa quantidade de pacote precisa ser transportada em caixas. Se colocarmos dois pacotes em cada caixa, sobram treze pacotes; mas, se colocamos três pacotes em cada caixas, sobram três caixas desocupadas. Calcule quantos pacotes devem ser transportados.
R: 57
94) Numa arvore pousam pássaros. Estando 4 pássaros em cada galho, sobram 2 galhos sem pássaros. Se pousassem 2 pássaros em cada galho, dois pássaros ficariam voando. Calcule o número de galhos e o numero de pássaros.
R: 5 galhos e 12 pássaros
95) Comprei certo número de pássaros e gaiolas, Se eu pusesse um pássaro em cada gaiola, 18 pássaros ficariam sem gaiolas; porém, se eu pusesse três pássaros em cada gaiola, haveria lugar para mais 6 pássaros. Quanto pássaros e quantas gaiolas comprei?
R: 30 pássaros e 12 gaiolas
96) Um professor de uma classe mandou que seus alunos se sentassem 8 em cada banco do jardim da escola e ficaram 4 alunos em pé. Mas, verificou que se sentassem 9 alunos em cada banco, ficavam no último banco apenas 7 alunos sentados. Calcule quantos alunos há na classe e quantos são os bancos do jardim.
que resolvido, resulta: x = 6573.
108) Determinar dois números, sabendo-se que têm por soma 59, por quociente 8 e o resto é o maior possível.
R: 53 e 6
Veja: O maior resto possível em uma divisão é o divisor menos uma unidade.
109) A diferença entre dois números é 84. Se cada um fosse uma unidade maior, o produto deles cresceria de 379. Calcule esses dois números.
R: 231 e 147
110) Se o produto de dois números inteiros e positivos aumenta de 10 unidades quando os mesmos são substituídos pelos seus consecutivos, calcule a soma desses números.
R: 9
111) A diferença de dois números é 4. Sabendo-se que cinco vezes o maior mais três vezes o menor é igual a 84, calcule o número maior.
02) Qual o número cuja metade mais a terça parte é igual a 25.
Solução:
Seja x este número, de acordo com o enunciado, temos:
Que resolvida, nos dá: x = 30.
03) Qual o número que, somado com o triplo de si mesmo, resulta 52.
Solução:
Seja x o número procurado, então podemos escrever: x + 3x = 52.
Logo, x = 13.
04) O dobro de um número, mais cinco unidades é 27. Qual é esse número.
R: 11.
05) O triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. Calcule esse número.
R: 18.
06) Determinar o número cujo dobro aumentado da metade do mesmo número é igual ao triplo do número diminuído de 4.
R: 8.
07) Qual é o número que somado com a sua terça parte resulta 12.
R: 9.
08) O dobro de um número diminuído de 8 é igual à sua quarta parte aumentada de 13. Calcule esse número.
R: 12.
09) Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igual ao seu triplo menos 19.
Solução:
Seja x o número. Então, temos: 2x + 5 = 3x - 19, que resolvida nos dá: x = 24.
10) Acrescentando-se a um número a sua metade, e em seguida, a sua terça parte e depois a sua duodécima parte, obtém-se por soma 46. Calcule esse número.
Solução:
Seja x o número procurado.
11) Qual é o número que, se for multiplicado por sete, e ao produto se adicionar três e depois dividir tudo por dois e desse quociente subtrair quatro, resultará 15.
R: 5
12) A metade do triplo de um número, menos o dobro de sua terça parte, é uma unidade menos que o número dado. Calcule esse número.
R: 6
13) Dividiu-se um número por quatro e o resultado por 6. Somando-se os dois quocientes obtém-se 35. Calcular o primeiro dividendo.
R: 120
14) Dividiu-se um número por 5, o resultado por 9 e o novo resultado por 7. A soma dos dois últimos quocientes é 24. Calcular o número.
R: 945
15) O dobro da minha idade, aumentada de 1/2, dos 2/5, dos 3/10 dela e de 40 anos, resulta 200 anos. Achar a minha idade.
R: 50 anos
16) Depois de duplicar um número e diminuí-lo de duas unidades, duplica-se de novo o resultado, para, em seguida, subtrair duas unidades. Duplicando-se o novo resultado, encontramos 68 para resultado final. Calcule esse número.
R: 10
17) Uma pessoa possui um certo número de laranjas. Cada vez que se dobrar esse número ela dará 80 laranjas aos amigos. Dobraram-no três vezes, e, depois da terceira vez a pessoa ficou sem nenhuma laranja. Calcule quantas laranjas essa pessoa tinha no princípio.
R: 70
18) Uma pessoa para dar esmola, disse: Se me duplicarem o que possuo, darei $ 60,00 e cada vez que duplicarem acrescentarei $ 10,00 à esmola precedente. Mas para dar a quarta esmola faltam $ 50,00. Calcule quanto essa pessoa possuía no início.
R: $ 60,00
19) Dentre três números, calcule o segundo, sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 70; a soma do primeiro com o terceiro é 90 e a soma do segundo com o terceiro é 120.
Solução:
Sejam a, b e c o primeiro, segundo e terceiro números. Então, temos:
a + b = 70; a + c = 90; b + c = 120.
Somando-se membro a membro as três equações, resulta:
2a + 2b + 2c = 280.
Dividindo-se a equação resultante por 2, temos: a + b +c= 140.
Como a + c = 90, temos que 90 + b = 140.
Logo, b = 50.
20) Dentre três números, calcule o primeiro, sabendo que a soma do primeiro com o segundo seja 200; a do primeiro com o terceiro seja 208 e a do segundo com o terceiro seja 216.
R: 96
21) As idades de Roberto e Deisy somam 9 anos: a de Deisy e José 13 anos; a de José e Roberto 12 anos. Calcule a idade de Deisy.
R: 5
22) Dentre três números, calcule o terceiro, sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 50; a soma do primeiro com o terceiro é 60 e a soma do segundo com o terceiro é 70.
R: 40
23) Numa compra, três homens gastaram certa quantia. O primeiro e o segundo gastaram $ 200,00 mais do que o terceiro; o primeiro e o terceiro juntos gastaram $ 600,00 mais do que o segundo; enfim, o segundo e o terceiro juntos gastaram $ 100,00 mais do que o primeiro. Calcule quanto gastou o primeiro.
R: $ 400,00
24) Três pessoas possuem certa quantia. A primeira e a terceira juntas têm $4.000,00 mais que a segunda. A segunda e a terceira juntas têm $ 6.000,00 mais que a primeira. A primeira e a segunda juntas têm $ 2.000,00 mais que a terceira. Calcule quanto possui a segunda pessoa.
R: $ 4.000,00
25) O peso total de três caixas cheias de certa mercadoria é 60 kg. As caixas vazias pesam: a primeira com a segunda 7 kg; a primeira com a terceira 10 kg; a segunda com a terceira 11 kg. Calcule o peso da mercadoria das três caixas.
R: 46 kg
26) Dentre quatro números, a soma dos três primeiros é 8.500; a soma dos três últimos é 12.500; a soma dos dois primeiros e do último é 10.500,00 e a soma do primeiro com os dois últimos é 12.000. Calcule o primeiro número.
R: 2.000
27) Calcular a idade da terceira pessoa, num grupo de quatro pessoa sabendo-se que a soma das idades das três primeiras é 73 anos; das três últimas é 60 anos; que, das duas primeiras e da última, vale 68 anos: e da primeira com as duas últimas vale 63 anos.
R: 20 anos
28) A soma de dois números inteiros e consecutivos é 45. Calcule o primeiro número.
Solução:
Os números inteiros consecutivos são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Veja que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 1. Então, chamando-se de x o primeiro número, o segundo será x + 1. Temos:
x + x + 1 = 45 ⇒ 2x = 44 ⇒ x= 22
29) Determinar o maior, dentre três números inteiros e consecutivos, cuja soma é 102.
R: 35
30) A soma de dois números inteiros e consecutivos é igual a 17 vezes a sua diferença. Qual o maior dos números.
R: 9
31) Calcule o menor dentre dois números pares e consecutivos, cuja soma é 106.
Solução:
Os números pares e consecutivos são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
Observe que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 2.
Chamando-se o primeiro número de x, o outro será x + 2. Então, temos:
x + x + 2 = 106 ⇒ 2x = 104 ⇒ x = 52.
32) Calcule o menor dentre três números pares e consecutivos cuja soma é 366.
R: 120
33) Calcule dois números pares e consecutivos cuja soma seja igual a 11 vezes a sua diferença.
R: 10 e 12
34) Calcular dois números pares e consecutivos cuja soma é 65 vezes a sua diferença.
R: 64 e 66
35) Calcule o menor entre três números ímpares e consecutivos cuja some é 33.
Solução:
Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11 ... A diferença entre eles é constante e sempre igual a 9. Logo se o primeiro designarmos por x, os outros serão x + 2 e x + 4. Então, Teremos:
x + x + 2 + x + 4 = 33
3x + 6 = 33
3x = 27
x = 9
Olhe: Generalizando-se para três números, temos:
Inteiros e consecutivos, x+1, x+2
Pares consecutivos: x, x+2, x+4
Ímpar e consecutivos: x, x+2, x+4
Veja mais: Se os números forem múltiplos de 5, de 9 e de 11 ou de 15, por exemplo, teríamos
x, x + 5, x + 10, x + 15 ...
x, x + 11, x + 22, x + 33 ...
x, x + 15, x + 30, x + 45 ...
36) Dentre quatro números ímpares consecutivos calcular o terceiro, sabendo que a soma do primeiro com o quarto e 76.
R: 39
37) Dois números pares e consecutivos mais o ímpar subsequentes somam 95. Calcule o número ímpar.
R: 33
38) A soma de três múltiplos consecutivos de 5 é 195. Calcule o segundo múltiplo.
R: 65
39) Achar três múltiplos consecutivos de 7, cuja soma seja igual a 273.
R: 84, 91 e 98
40) A soma de três múltiplos de 4 com quatro múltiplos de 3 é igual a 144. Calcule o primeiro múltiplo desses números.
R: 12
41) Uma pessoa possui galinhas e coelhos, ao todo 20 cabeças e 58 pés. Calcular o número de animais de cada espécie
Solução
Faça
x = número de galinhas
y = numero de coelhos
32) Calcule o menor dentre três números pares e consecutivos cuja soma é 366.
R: 120
33) Calcule dois números pares e consecutivos cuja soma seja igual a 11 vezes a sua diferença.
R: 10 e 12
34) Calcular dois números pares e consecutivos cuja soma é 65 vezes a sua diferença.
R: 64 e 66
35) Calcule o menor entre três números ímpares e consecutivos cuja some é 33.
Solução:
Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11 ... A diferença entre eles é constante e sempre igual a 9. Logo se o primeiro designarmos por x, os outros serão x + 2 e x + 4. Então, Teremos:
x + x + 2 + x + 4 = 33
3x + 6 = 33
3x = 27
x = 9
Olhe: Generalizando-se para três números, temos:
Inteiros e consecutivos, x+1, x+2
Pares consecutivos: x, x+2, x+4
Ímpar e consecutivos: x, x+2, x+4
Veja mais: Se os números forem múltiplos de 5, de 9 e de 11 ou de 15, por exemplo, teríamos
x, x + 5, x + 10, x + 15 ...
x, x + 11, x + 22, x + 33 ...
x, x + 15, x + 30, x + 45 ...
36) Dentre quatro números ímpares consecutivos calcular o terceiro, sabendo que a soma do primeiro com o quarto e 76.
R: 39
37) Dois números pares e consecutivos mais o ímpar subsequentes somam 95. Calcule o número ímpar.
R: 33
38) A soma de três múltiplos consecutivos de 5 é 195. Calcule o segundo múltiplo.
R: 65
39) Achar três múltiplos consecutivos de 7, cuja soma seja igual a 273.
R: 84, 91 e 98
40) A soma de três múltiplos de 4 com quatro múltiplos de 3 é igual a 144. Calcule o primeiro múltiplo desses números.
R: 12
41) Uma pessoa possui galinhas e coelhos, ao todo 20 cabeças e 58 pés. Calcular o número de animais de cada espécie
Solução
Faça
x = número de galinhas
y = numero de coelhos
Então x + y = 20 (Cabeças). Como as galinhas possuem dois pés e os coelhos quatro pés, vem: 2x + 4y = 58 (pés)
Juntando-se as duas equações resulta o sistema
Juntando-se as duas equações resulta o sistema
Que resolvido, nos dá: 11 galinhas e 9 coelhos.
42) Num jardim há cisnes e coelhos cantando-se o todo 58 cabeças e 178 pernas. Calcule o número de cisnes.
R: 27
43) Tenho marrecos e cabritos num total de 39 cabeças e 104 pés. Calcule o número de aves e caprinos
R: 26 e 13
44) Num depósito há 85 viaturas, sendo uma de oito rodas e outras de três. Calcule o número de veículos de oito rodas, sabendo que o total de rodas é 320.
R: 13
45) Em um depósito ha viaturas de 4 e de 6 rodas num total de 39 viaturas e 190 rodas. Calcule quantas viaturas há de cada espécie.
R: 22 e 17
46) Num caderno estão desenhados triângulos e quadrados, num total de 35 figuras e 125 lado. Calcule o número de quadrados
R: 20
47) Num livro encontramos triângulos e pentágonos, num total de 40 polígonos e 156 lados. Calcule o número de pentágonos
42) Num jardim há cisnes e coelhos cantando-se o todo 58 cabeças e 178 pernas. Calcule o número de cisnes.
R: 27
43) Tenho marrecos e cabritos num total de 39 cabeças e 104 pés. Calcule o número de aves e caprinos
R: 26 e 13
44) Num depósito há 85 viaturas, sendo uma de oito rodas e outras de três. Calcule o número de veículos de oito rodas, sabendo que o total de rodas é 320.
R: 13
45) Em um depósito ha viaturas de 4 e de 6 rodas num total de 39 viaturas e 190 rodas. Calcule quantas viaturas há de cada espécie.
R: 22 e 17
46) Num caderno estão desenhados triângulos e quadrados, num total de 35 figuras e 125 lado. Calcule o número de quadrados
R: 20
47) Num livro encontramos triângulos e pentágonos, num total de 40 polígonos e 156 lados. Calcule o número de pentágonos
R: 18
48) Uma pessoa comprou galinhas e coelhos num total de 48 cabeças 130 pés. Calcule quantos coelhos existem.
R: 17
49) Num quintal existem galinhas e porcos, ao todo, 135 cabeças e 352 pés. Calcule quantos animais existem de cada espécie.
R: 94 galinhas e 41 porcos
50) Num caderno estão desenhados triângulos, quadrados e pentágonos. Ao todo, 18 figuras e 74 lados. Calcule o número de quadrados, sabendo que o número deles é o dobro do número de triângulos.
R: 8
51) Um aluno ganha 5 pontos por cada exercício que acerta e perde 3 pontos por exercício que erra. Ao fim de 20 exercícios, tem 36 pontos. Quantos exercícios acertou.
Solução:
Seja: x o número de exercícios que acertou
48) Uma pessoa comprou galinhas e coelhos num total de 48 cabeças 130 pés. Calcule quantos coelhos existem.
R: 17
49) Num quintal existem galinhas e porcos, ao todo, 135 cabeças e 352 pés. Calcule quantos animais existem de cada espécie.
R: 94 galinhas e 41 porcos
50) Num caderno estão desenhados triângulos, quadrados e pentágonos. Ao todo, 18 figuras e 74 lados. Calcule o número de quadrados, sabendo que o número deles é o dobro do número de triângulos.
R: 8
51) Um aluno ganha 5 pontos por cada exercício que acerta e perde 3 pontos por exercício que erra. Ao fim de 20 exercícios, tem 36 pontos. Quantos exercícios acertou.
Solução:
Seja: x o número de exercícios que acertou
y o numero de exercícios que erra.
Então ternos a seguinte sistema:
Que resolvendo nos dá: x = 12
Que resolvendo nos dá: x = 12
Olhe: Se perde ou paga, por exercício ou tiros que erra, devemos subtrair.
52) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 pontos por exercício que erra. No fim de 30 exercícios tinha 110 pontos. Calcule quantos exercícios errou.
R: 5
53) Um atirador ganha 4 pontos por tiro acertado no alvo e paga metade, por multa, cada vez que erra. Após 32 tiros, tinha 86 pontos. Calcule quanto tiros acertou.
R: 25
54) Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa e tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule quantas certas houve se o aluno não recebeu nenhum ponto.
R: 5
53) Um atirador ganha 4 pontos por tiro acertado no alvo e paga metade, por multa, cada vez que erra. Após 32 tiros, tinha 86 pontos. Calcule quanto tiros acertou.
R: 25
54) Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa e tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule quantas certas houve se o aluno não recebeu nenhum ponto.
R: 9
55) Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa, tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule quantas certas houve se o aluno ficou devendo 32 pontos.
R:7
56) Um aluno ganha 6 pontos por cada exercício que acerta e perde 4 por exercício que erra. Ao fim de 30 exercícios tinha 60 pontos. Calcule quantos exercícios ele acertou.
R: 18
57) Achar uma fração tal que, somando-se 4 a cada um de seus termos, ela torna-se igual a 2/3, e subtraindo-se 1 de cada um de seus termos, torna-se igual a 1/2.
Solução:
55) Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa, tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule quantas certas houve se o aluno ficou devendo 32 pontos.
R:7
56) Um aluno ganha 6 pontos por cada exercício que acerta e perde 4 por exercício que erra. Ao fim de 30 exercícios tinha 60 pontos. Calcule quantos exercícios ele acertou.
R: 18
57) Achar uma fração tal que, somando-se 4 a cada um de seus termos, ela torna-se igual a 2/3, e subtraindo-se 1 de cada um de seus termos, torna-se igual a 1/2.
Solução:
Seja x/y a fração. Então, temos:
Preparando, resulta o sistema
Preparando, resulta o sistema
Que resolvido, nos dá x =6 e y = 11.
Então, a fração procurada é 6/11.
58) Se subtrairmos 3 de ambos os termos de uma fração, ela ficará igual a 1/4; mas se juntarmos 5 a ambos os termos, ela ficará igual a 1/2. Calcule a fração.
R: 7/19
59) Se juntarmos 8 ao numerador de uma fração, ela ficará igual a 2; mas se subtrairmos 5 do denominador, a fração ficará igual 3. Calcule a fração.
R: 6/7
60) O denominador de uma fração excede o numerador de 5 unidades. Se ao denominador se adiciona 7, o valor da fração fica sendo igual a 1/2. Determinar a fração.
58) Se subtrairmos 3 de ambos os termos de uma fração, ela ficará igual a 1/4; mas se juntarmos 5 a ambos os termos, ela ficará igual a 1/2. Calcule a fração.
R: 7/19
59) Se juntarmos 8 ao numerador de uma fração, ela ficará igual a 2; mas se subtrairmos 5 do denominador, a fração ficará igual 3. Calcule a fração.
R: 6/7
60) O denominador de uma fração excede o numerador de 5 unidades. Se ao denominador se adiciona 7, o valor da fração fica sendo igual a 1/2. Determinar a fração.
R: 12/17
61) A soma dos termos de uma fração é 34. Substituindo-se o numerador pelo seu sucessivo a fração resultante equivale a 4. Escrever essa fração.
R: 27/7
62) Se dividirmos as idades de A e B aumentadas de um ano, encontraremos uma fração igual a 1/2 e, se dividirmos diminuídas de um ano, encontraremos uma fração igual a 1/3. Calcule a idade de A e B.
R: 3 e 7 anos.
63) Achar os números que devem ser adicionados aos termos da fração 5/13 para que se obtenha uma fração que seja o dobro dela e na qual a soma dos termos seja 46.
R: 15 e 13
64) Calcule uma fração sabendo que somando-se uma unidade ao seu numerador ela fica equivalente a 18/3, e somando-se uma unidade ao denominador da fração anterior ela fica equivalente a 5/10.
61) A soma dos termos de uma fração é 34. Substituindo-se o numerador pelo seu sucessivo a fração resultante equivale a 4. Escrever essa fração.
R: 27/7
62) Se dividirmos as idades de A e B aumentadas de um ano, encontraremos uma fração igual a 1/2 e, se dividirmos diminuídas de um ano, encontraremos uma fração igual a 1/3. Calcule a idade de A e B.
R: 3 e 7 anos.
63) Achar os números que devem ser adicionados aos termos da fração 5/13 para que se obtenha uma fração que seja o dobro dela e na qual a soma dos termos seja 46.
R: 15 e 13
64) Calcule uma fração sabendo que somando-se uma unidade ao seu numerador ela fica equivalente a 18/3, e somando-se uma unidade ao denominador da fração anterior ela fica equivalente a 5/10.
R: 2/5.
65) Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses algarismos é 6 e que subtraindo 36 unidades do numero, ele fica escrito na ordem inversa.
65) Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses algarismos é 6 e que subtraindo 36 unidades do numero, ele fica escrito na ordem inversa.
Solução:
Observe que qualquer número de dois algarismos pode ser escrito como uma soma de um certo numero de dezenas com um certo numero de unidades.
Veja por exemplo:
25 = 2 x 10 + 5
Observe que qualquer número de dois algarismos pode ser escrito como uma soma de um certo numero de dezenas com um certo numero de unidades.
Veja por exemplo:
25 = 2 x 10 + 5
38 = 3 x 10 + 8
76 = 7 x 10 + 6
Voltemos ao problema.
Como o número é formado de dois algarismos podemos simbolizá-lo como xy. Pelos dados fornecidos temos:
x + y = 6 e xy - 36 = yx.
Vamos, agora, trabalhar somente com a segunda equação, isto é, com xy - 36 =yx.
Aplicando nessa equação, o que foi visto nos exemplos numéricos acima, temos:
xy - 36 = yx ⇒ 10x + y - 36 = 10y + x que é igual a:
x + y = 6 e xy - 36 = yx.
Vamos, agora, trabalhar somente com a segunda equação, isto é, com xy - 36 =yx.
Aplicando nessa equação, o que foi visto nos exemplos numéricos acima, temos:
xy - 36 = yx ⇒ 10x + y - 36 = 10y + x que é igual a:
10x + y - 10y - x = 36
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 9x - 9y = 36
Dividindo toda a equação por 9, temos: x - y = 4
Que, com a primer equação resulta o sistema:
Resolvendo-o, temos: x = 5 e y = 1
Então, o número série 51.
Veja: Quando invertemos os dois algarismos de um número a diferença entre os dois números resultantes formados pelos dois algarismos é sempre múltiplo de 9.
Então, o número série 51.
Veja: Quando invertemos os dois algarismos de um número a diferença entre os dois números resultantes formados pelos dois algarismos é sempre múltiplo de 9.
21 - 12 = 9; 72 - 27 = 45; 82 - 28 = 45
66) A soma do algarismo das dezenas e do algarismo das unidades de um número é 15; se ao número subtrai 9, os algarismos se invertem. Determinar o número.
66) A soma do algarismo das dezenas e do algarismo das unidades de um número é 15; se ao número subtrai 9, os algarismos se invertem. Determinar o número.
R: 87
67) Um número é formado de dois algarismos cuja soma é 10. Somando-se 54 ao número, ele fica escrito em ordem inversa. Calcule esse número.
R: 28
68) A soma dos dois algarismos de um número é 7. Diminuindo-se 27 unidades deste número, resulta o número primitivo invertido. Calcular esse número.
67) Um número é formado de dois algarismos cuja soma é 10. Somando-se 54 ao número, ele fica escrito em ordem inversa. Calcule esse número.
R: 28
68) A soma dos dois algarismos de um número é 7. Diminuindo-se 27 unidades deste número, resulta o número primitivo invertido. Calcular esse número.
R: 52
69) Um número é tal que a soma de seus dois algarismos é 7. Calcule este número sabendo que, invertendo os seus algarismos, o número resultante vale duas vezes o primeiro, mais duas unidades.
R: 25
70) A soma dos dois algarismos de um número é 15. Invertendo-se a ordem dos algarismos, forma-se um segundo número que vale 23/32 do primeira. Calcule esse número.
69) Um número é tal que a soma de seus dois algarismos é 7. Calcule este número sabendo que, invertendo os seus algarismos, o número resultante vale duas vezes o primeiro, mais duas unidades.
R: 25
70) A soma dos dois algarismos de um número é 15. Invertendo-se a ordem dos algarismos, forma-se um segundo número que vale 23/32 do primeira. Calcule esse número.
R: 96
71) Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 3. Escrevendo-se o número em ordem inversa, obtém-se os 4/7 do número dada. Calcule esse número.
71) Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 3. Escrevendo-se o número em ordem inversa, obtém-se os 4/7 do número dada. Calcule esse número.
R: 63
72) Achar um número de dois algarismos, na qual 5 vezes o algarismo das dezenas, menos duas vezes o algarismo das unidades é igual a 7; e, invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número que excede ao primeiro de 36.
R: 59
73) O total de pontos obtidos por uma aluna é um número de dois algarismos. Invertendo-se a ordem dos algarismos encontra-se um novo número que somado ao primeiro número resulta 187. O primeiro número dividido pelo segundo dá quociente 1 e resto 9. Calcule o número de pontos alcançados pela aluna.
72) Achar um número de dois algarismos, na qual 5 vezes o algarismo das dezenas, menos duas vezes o algarismo das unidades é igual a 7; e, invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número que excede ao primeiro de 36.
R: 59
73) O total de pontos obtidos por uma aluna é um número de dois algarismos. Invertendo-se a ordem dos algarismos encontra-se um novo número que somado ao primeiro número resulta 187. O primeiro número dividido pelo segundo dá quociente 1 e resto 9. Calcule o número de pontos alcançados pela aluna.
R: 98
74) Um número de dois algarismos é tal que, dividido pela diferença entre seus algarismos, dá o quociente 12; invertendo-se os algarismos, somando 9 ao número assim formado e dividindo o resultado pela soma dos algarismos, obtém-se 8 por quociente. Calcule esse número, sabendo-se que o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das dezenas.
74) Um número de dois algarismos é tal que, dividido pela diferença entre seus algarismos, dá o quociente 12; invertendo-se os algarismos, somando 9 ao número assim formado e dividindo o resultado pela soma dos algarismos, obtém-se 8 por quociente. Calcule esse número, sabendo-se que o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das dezenas.
R: 36
75) Um número tem 3 algarismos cuja soma dos valores absolutos é 12. O algarismo das unidades é 5. Se este algarismo das unidades se coloca nA posição do algarismo das centenas, conservando-se a ordem dos outros dois, o numero diminui de 54 unidades. Calcule esse número.
75) Um número tem 3 algarismos cuja soma dos valores absolutos é 12. O algarismo das unidades é 5. Se este algarismo das unidades se coloca nA posição do algarismo das centenas, conservando-se a ordem dos outros dois, o numero diminui de 54 unidades. Calcule esse número.
R: 615
Olhe: Escrever um número em sua forma polinomial, é escrever esse número como uma soma. Generalizando-se, temos:
Numero de dois algarismos: xy = 10x + y
Numero de três algarismos: xyz = 100x + 10y + z
Numero de quatro algarismos: xyzt = 1000x + 100y + 10z + t
76) Um número tem três algarismos cuja soma dos valores absolutos é 21. O algarismo das dezena é 9. Substituindo-se os outros algarismos pelos seus sucessivos e invertendo-se a ordem dos mesmos, conservada a posição dos algarismos das dezenas, o número aumenta do 497 unidades. Calcule esse número.
R: 498
77) Um certo número é composto de três algarismos, cuja soma é 18. O algarismo das unidades e o dobro do das centenas e quando se juntam ao número 297 unidades, obtém-se o mesmo numero invertido. Calcule esse número.
77) Um certo número é composto de três algarismos, cuja soma é 18. O algarismo das unidades e o dobro do das centenas e quando se juntam ao número 297 unidades, obtém-se o mesmo numero invertido. Calcule esse número.
R: 396
78) Um número é formado de quatro algarismos cuja soma é 13. A soma dos dois últimos algarismos é igual ao segundo e a soma dos algarismos extremos é igual a metade desse segundo algarismo. Subtraindo-se o número dado, do mesmo número escrito em ordem inversa, a diferença será 819. Calcule esse número.
R: 1.642
79) A data da invenção da imprensa por Gutemberg é expressa por um número de quatro algarismos. Achar esse número sabendo-se que a soma dos valores absolutos dos algarismos é 14 e o valor absoluto do algarismo das dezenas é a metade dos das unidades; o valor absoluto dos algarismos das centenas é igual a soma dos valores absolutos dos algarismos das dezenas e o das milhares. Somando-se 4.905 a este número, obtém-se o número escrito em ordem inversa. Encontre esse número.
R: 1.436
80) Em 1938, uma moça tinha tantos anos quantos expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nasceram. Ao contar isso a sua avó, ambas espantaram-se ao perceberem que o mesmo ocorria com a velha senhora. Calcule quantos anos tinha cada uma.
78) Um número é formado de quatro algarismos cuja soma é 13. A soma dos dois últimos algarismos é igual ao segundo e a soma dos algarismos extremos é igual a metade desse segundo algarismo. Subtraindo-se o número dado, do mesmo número escrito em ordem inversa, a diferença será 819. Calcule esse número.
R: 1.642
79) A data da invenção da imprensa por Gutemberg é expressa por um número de quatro algarismos. Achar esse número sabendo-se que a soma dos valores absolutos dos algarismos é 14 e o valor absoluto do algarismo das dezenas é a metade dos das unidades; o valor absoluto dos algarismos das centenas é igual a soma dos valores absolutos dos algarismos das dezenas e o das milhares. Somando-se 4.905 a este número, obtém-se o número escrito em ordem inversa. Encontre esse número.
R: 1.436
80) Em 1938, uma moça tinha tantos anos quantos expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nasceram. Ao contar isso a sua avó, ambas espantaram-se ao perceberem que o mesmo ocorria com a velha senhora. Calcule quantos anos tinha cada uma.
R: Moça: 19 anos
Avó: 69 anos
81) Um número de seis algarismos começa à esquerda, por 1. Levando-se este algarismo para o último lugar, a direita, o novo número é o triplo do número inicial. Calcular o número inicial.
R: 142.857
82) Um carro com movimento uniforme passa, num dado momento, num marco quilométrico de uma estrada, que tem escrito um número formado de dois algarismos. Uma hora depois, passa num outro marco com os algarismos escritos em ordem inversa. Uma hora mais tarde, passa num terceiro marco que tem os mesmos algarismos do primeiro marco, porém, com um zero intercalado. Determinar os algarismos dos três marcos.
R: 16, 61 e 106
83) Um pai deu 5 laranjas a cada filho e ficou com 30 laranjas. Se tivesse dado 7 laranjas a cada um, teria ficado com apenas 4 laranjas. Calcule número de filhos.
81) Um número de seis algarismos começa à esquerda, por 1. Levando-se este algarismo para o último lugar, a direita, o novo número é o triplo do número inicial. Calcular o número inicial.
R: 142.857
82) Um carro com movimento uniforme passa, num dado momento, num marco quilométrico de uma estrada, que tem escrito um número formado de dois algarismos. Uma hora depois, passa num outro marco com os algarismos escritos em ordem inversa. Uma hora mais tarde, passa num terceiro marco que tem os mesmos algarismos do primeiro marco, porém, com um zero intercalado. Determinar os algarismos dos três marcos.
R: 16, 61 e 106
83) Um pai deu 5 laranjas a cada filho e ficou com 30 laranjas. Se tivesse dado 7 laranjas a cada um, teria ficado com apenas 4 laranjas. Calcule número de filhos.
Solução
Seja x o número de filha
Seja x o número de filha
5x + 30 = 7x + 4.
Que resolvida nos dá x= 13.
84) Dei 15 laranjas a cada menino e fiquei com 30 laranjas. Se tivesse dado 20 a cada um, teria ficado com apenas 20. Calcule o número de meninos.
84) Dei 15 laranjas a cada menino e fiquei com 30 laranjas. Se tivesse dado 20 a cada um, teria ficado com apenas 20. Calcule o número de meninos.
R: 2
85) Se eu colocar 8 laranjas em cada caixa que possuo, sobram 4 laranjas. Se eu colocar 10, uma das caixas ficaram faltando 2 laranjas. Calcule quantas são as caixas e as laranjas.
Solução:
Seja X o número de caixas.
Seja X o número de caixas.
Temos 8x + 4 = 10x - 2.
Que resolvida nas dá x=3, isto é, o número de caixas.
O número de laranjas será
8x3 + 4 = 28. Que deve ser igual ao segundo membro da equação, isto é:
10x3 - 2 = 28.
86) Se eu colocar 9 laranjas em cada caixa que possuo, sobrarão 14 laranjas, mas, se eu colocar uma dezena em cada caixa, em uma dessas caixas ficarão faltando 4 laranjas. Calcule quantas são as caixas e as laranjas.
R: 18 e 176
87) Se uma pessoa colocar 8 abacates em cada cesto, sobrarão 4 abacates; se, porém, colocar 10, faltarão 4 abacates em um dos cestos. Calcular o número de cestos e de abacates.
86) Se eu colocar 9 laranjas em cada caixa que possuo, sobrarão 14 laranjas, mas, se eu colocar uma dezena em cada caixa, em uma dessas caixas ficarão faltando 4 laranjas. Calcule quantas são as caixas e as laranjas.
R: 18 e 176
87) Se uma pessoa colocar 8 abacates em cada cesto, sobrarão 4 abacates; se, porém, colocar 10, faltarão 4 abacates em um dos cestos. Calcular o número de cestos e de abacates.
R: 4 e 36
88) Se uma pessoa guardar 12 pêssegos em cada caixa que possui, sobram 10 pêssegos; mas se guardar 15, ficam falando 8 pêssegos em uma das caixas. Calcular o número de caixas e de pêssegos.
Solução:
Seja x o número de caixas. Então, temos: 12x + 10 = 15x - 8
88) Se uma pessoa guardar 12 pêssegos em cada caixa que possui, sobram 10 pêssegos; mas se guardar 15, ficam falando 8 pêssegos em uma das caixas. Calcular o número de caixas e de pêssegos.
Solução:
Seja x o número de caixas. Então, temos: 12x + 10 = 15x - 8
Que resolvida nos dá x = 6, isto é, o número de caixas.
O número de pêssegos será: 12x6 + 10 = 82.
89) Se uma professora desse 2 lápis a cada um dos seus alunos, sobrar-lhe-iam 14 lápis. Tendo, porém, faltado 5 alunos, verificou que se desse 4 Lápis a cada um dos que compareceram, não sobrariam nenhum lápis. Calcular o número de lápis e o numero de alunos.
R: 48 e 17
90) Num vagão de um trem viaja determinado número de pessoas; 42 das quais em pé. Por determinação do chefe do trem, em cada banco passaram a sentar-se 3 passageiros, ao invés de 2. Mesmo assim, duas pessoas ficaram em pé. Calcular o número de passageiros no vagão.
R: 122
91) Num micro ônibus, cada banco está ocupado por dois passageiros, havendo ainda dois passageiros em pé. Para que não existissem nenhum em pé, um dele tive a ideia de mandar que seus companheiros de viagens se sentassem três em cada banco, ficando assim dois bancos desocupados.
Calcular o número de passageiros.
89) Se uma professora desse 2 lápis a cada um dos seus alunos, sobrar-lhe-iam 14 lápis. Tendo, porém, faltado 5 alunos, verificou que se desse 4 Lápis a cada um dos que compareceram, não sobrariam nenhum lápis. Calcular o número de lápis e o numero de alunos.
R: 48 e 17
90) Num vagão de um trem viaja determinado número de pessoas; 42 das quais em pé. Por determinação do chefe do trem, em cada banco passaram a sentar-se 3 passageiros, ao invés de 2. Mesmo assim, duas pessoas ficaram em pé. Calcular o número de passageiros no vagão.
R: 122
91) Num micro ônibus, cada banco está ocupado por dois passageiros, havendo ainda dois passageiros em pé. Para que não existissem nenhum em pé, um dele tive a ideia de mandar que seus companheiros de viagens se sentassem três em cada banco, ficando assim dois bancos desocupados.
Calcular o número de passageiros.
Solução:
Seja x o numero de bancos. Então, temos: 2x + 2 = 3x - 6
Seja x o numero de bancos. Então, temos: 2x + 2 = 3x - 6
Por que menos 6?
Olhe! Quando passaram a sentar-se 3 em cada banco, sobraram 2 bancos desocupados e nesses dois bancos se sentariam 2x3 = 6 passageiros.
Resolvendo-se a equação, encontramos; x = 8, isto é, o número de bancos.
Então o número de passageiros será: 2x8 + 2 = 18.
Então o número de passageiros será: 2x8 + 2 = 18.
Como também poderá ser calculado usando-se o segundo membro da equação, assim : 3x8 - 6 = 18.
92) Em um ônibus viaja 35 passageiros em pé quando dois passageiros sentava em cada banco Se três passageiros sentassem em cada banco, sobrariam 5 bancos vazios. Determine o numero de bancos e quantos passageiros viajam no ônibus.
R: 50 bancos e 135 passageiros
93) Certa quantidade de pacote precisa ser transportada em caixas. Se colocarmos dois pacotes em cada caixa, sobram treze pacotes; mas, se colocamos três pacotes em cada caixas, sobram três caixas desocupadas. Calcule quantos pacotes devem ser transportados.
R: 57
94) Numa arvore pousam pássaros. Estando 4 pássaros em cada galho, sobram 2 galhos sem pássaros. Se pousassem 2 pássaros em cada galho, dois pássaros ficariam voando. Calcule o número de galhos e o numero de pássaros.
R: 5 galhos e 12 pássaros
95) Comprei certo número de pássaros e gaiolas, Se eu pusesse um pássaro em cada gaiola, 18 pássaros ficariam sem gaiolas; porém, se eu pusesse três pássaros em cada gaiola, haveria lugar para mais 6 pássaros. Quanto pássaros e quantas gaiolas comprei?
R: 30 pássaros e 12 gaiolas
96) Um professor de uma classe mandou que seus alunos se sentassem 8 em cada banco do jardim da escola e ficaram 4 alunos em pé. Mas, verificou que se sentassem 9 alunos em cada banco, ficavam no último banco apenas 7 alunos sentados. Calcule quantos alunos há na classe e quantos são os bancos do jardim.
R: 52 alunos e 6 bancos
97) Distribuiu-se certa quantidade de bombons para um grupo de crianças, recebendo cada uma 5 bombons. Entretanto, se resolvêssemos dar 7 bombons para cada criança, ficariam 4 crianças com um bombom cada uma. Calcule quantas crianças eram e quantos bombons foram distribuídos.
97) Distribuiu-se certa quantidade de bombons para um grupo de crianças, recebendo cada uma 5 bombons. Entretanto, se resolvêssemos dar 7 bombons para cada criança, ficariam 4 crianças com um bombom cada uma. Calcule quantas crianças eram e quantos bombons foram distribuídos.
R: 12 crianças e 60 bombons
98) Certo numero de bolas foi repartido entre várias crianças, cabendo a cada uma 5 bolas. Se tivéssemos dado apenas 2 bolas a cada uma, poderíamos ter presenteado a mais 31 crianças e ainda sobraria uma bola. Calcule o numero de criança e o numero de bolas distribuídas.
98) Certo numero de bolas foi repartido entre várias crianças, cabendo a cada uma 5 bolas. Se tivéssemos dado apenas 2 bolas a cada uma, poderíamos ter presenteado a mais 31 crianças e ainda sobraria uma bola. Calcule o numero de criança e o numero de bolas distribuídas.
R: 21 crianças e 105 bolas
99) Uma doceira vendeu todos os doces que levava a dois clientes; ao primeiro, vendeu a metade mais um doce; ao segundo, vendeu a metade do resto mais dois doces. Calcule quantos doces ela levava inicialmente.
99) Uma doceira vendeu todos os doces que levava a dois clientes; ao primeiro, vendeu a metade mais um doce; ao segundo, vendeu a metade do resto mais dois doces. Calcule quantos doces ela levava inicialmente.
R: 10
100) Uma pessoa levava limões para vender. Ao primeiro freguês vendeu a metade do que possuía e deu cinco limões. Ao segundo, vendeu a metade do resto e deu três. Ao terceiro, vendeu a metade do novo resto e deu um, ficando assim, sem nenhum limão. calcule quantos limões essa pessoa levava inicialmente.
100) Uma pessoa levava limões para vender. Ao primeiro freguês vendeu a metade do que possuía e deu cinco limões. Ao segundo, vendeu a metade do resto e deu três. Ao terceiro, vendeu a metade do novo resto e deu um, ficando assim, sem nenhum limão. calcule quantos limões essa pessoa levava inicialmente.
R: 30
101) Uma pessoa levava objetos ao mercado para vendê-los ao preço de $100,00. No caminho, porém, quebraram-se 10 objetos. Para não ter prejuízo, teve que vender o restante ao preço de $ 150,00 cada um. Calcule quantos objetos essa pessoa levava a princípio.
101) Uma pessoa levava objetos ao mercado para vendê-los ao preço de $100,00. No caminho, porém, quebraram-se 10 objetos. Para não ter prejuízo, teve que vender o restante ao preço de $ 150,00 cada um. Calcule quantos objetos essa pessoa levava a princípio.
R: 30
102) Uma pessoa levava objetos para vender por $100,00 cada um. Tendo quebrado, na viagem 15 objetos, vendeu o restante por $ 120,00 cada um, obtendo assim, uma vantagem de $4.200,00 em relação à venda de todos que levava para vender. Calcule quantos objetos levava essa pessoa.
R: 300
103) Uma pessoa levava objetos para vender. Se vender a $150,00 cada um, lucrará $1.380,00. Mas se vender a $60,00 cada um, perderá $690,00. Calcular quantos objetos essa pessoa levava.
R: 23
104) Com o dinheiro que tinha, comprei certo número de entradas a $130,00 cada uma e sobraram-me $800,00. Se cada entrada me tivesse custado a importância de $190,00, ter-me-iam faltado $160,00. Calcule quantas entradas comprei e quanto em dinheiro possuía.
102) Uma pessoa levava objetos para vender por $100,00 cada um. Tendo quebrado, na viagem 15 objetos, vendeu o restante por $ 120,00 cada um, obtendo assim, uma vantagem de $4.200,00 em relação à venda de todos que levava para vender. Calcule quantos objetos levava essa pessoa.
R: 300
103) Uma pessoa levava objetos para vender. Se vender a $150,00 cada um, lucrará $1.380,00. Mas se vender a $60,00 cada um, perderá $690,00. Calcular quantos objetos essa pessoa levava.
R: 23
104) Com o dinheiro que tinha, comprei certo número de entradas a $130,00 cada uma e sobraram-me $800,00. Se cada entrada me tivesse custado a importância de $190,00, ter-me-iam faltado $160,00. Calcule quantas entradas comprei e quanto em dinheiro possuía.
R: 16 entradas e $ 2.880,00
105) Se eu receber o que me é devido, eu pagarei o que devo e ainda me sobram 2/9 do que me devem. Sabendo que o que eu devo e o que me é devido somam $3.840,00, calcular o quanto devo e quanto me devem.
R: Devo: $1.680,00 e devem-me: $2.160,00
106) Comprei um certo número de laranjas deram-me uma laranja mais em cada dúzia e eu recebi 351 laranjas. Calcule quantas dúzias comprei.
R: 27
107) A diferença entre dois números é 6.289; a divisão do maior pelo menor dá 23 de quociente e 41 de resto. Determine o maior número.
Solução:
Faça: x e y os números, com x > y. Temos o sistema:
105) Se eu receber o que me é devido, eu pagarei o que devo e ainda me sobram 2/9 do que me devem. Sabendo que o que eu devo e o que me é devido somam $3.840,00, calcular o quanto devo e quanto me devem.
R: Devo: $1.680,00 e devem-me: $2.160,00
106) Comprei um certo número de laranjas deram-me uma laranja mais em cada dúzia e eu recebi 351 laranjas. Calcule quantas dúzias comprei.
R: 27
107) A diferença entre dois números é 6.289; a divisão do maior pelo menor dá 23 de quociente e 41 de resto. Determine o maior número.
Solução:
Faça: x e y os números, com x > y. Temos o sistema:
que resolvido, resulta: x = 6573.
108) Determinar dois números, sabendo-se que têm por soma 59, por quociente 8 e o resto é o maior possível.
R: 53 e 6
Veja: O maior resto possível em uma divisão é o divisor menos uma unidade.
109) A diferença entre dois números é 84. Se cada um fosse uma unidade maior, o produto deles cresceria de 379. Calcule esses dois números.
R: 231 e 147
110) Se o produto de dois números inteiros e positivos aumenta de 10 unidades quando os mesmos são substituídos pelos seus consecutivos, calcule a soma desses números.
R: 9
111) A diferença de dois números é 4. Sabendo-se que cinco vezes o maior mais três vezes o menor é igual a 84, calcule o número maior.
Solução:
Faça x = número maior e y = número menor
Armando o sistema, temos:
Que resolvido, resulta x = 12.
Faça x = número maior e y = número menor
Armando o sistema, temos:
Que resolvido, resulta x = 12.
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