Radiciação

DEFINIÇÃO
Um número b é chamado de raiz enésima aritmética exata de um número a, isto é, se, e somente se, a = bⁿ. Onde:
√ é o radical
a é o radicando
b é a raiz
n é o índice do radical

Exemplos:
 porque 2³ = 8

porque 2⁵ = 23

Observações:
a) O termo "enésima" é um termo geral. Será raiz quadrada para n = 2, raiz cúbica para n = 3, etc.
b) No caso de n = 2, isto é, da raiz quadrada, não se escreve o índice do radical, por convenção.

Importante:
Decorrente da definição dada, temos que:
 e não 
 e não 
Entretanto, as sentenças   ,    e  são verdadeiras. Isto porque o radical não é responsável pelo sinal ou sinais que o antecedem.

RADICAIS SEMELHANTES
São aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.
Exemplos:  , , mesmo índice 3 e mesmo radicando 2

PROPRIEDADES DOS RADICAIS
Primeira:
Para se elevar um radical a uma potência eleva-se somente, o radicando a essa potência.

Exemplos:



Segunda:
A potencia n da raiz enésima de um radical é igual ao radicando.

Exemplos



Terceira:
Multiplicando-se ou dividindo-se, o índice do radical e o expoente do radicando, pelo mesmo número, diferente de zero, o radical não se altera.


Exemplos:
 multiplicando-se por 2.
 dividindo-se por 2.

Quarta:
A raiz enésima de um produto de vários fatores é igual ao
produto das raízes enésimas dos fatores.

Exemplos.



Quinta:
Para se extrair a raiz enésima de uma fração, extrai-se a
raiz enésima do numerador e do denominador.

Exemplos:



Sexta:
Para se extrair uma raiz qualquer de um radical, isto é
para substituir um radical duplo, por um radical simples,
basta multiplicar os índices dos radicais.

Exemplos:



Observações:
Seja . Pela primeira propriedade podemos escrever que  então pela propriedade simática da igualdade temos que  de onde concluímos que: para escrever, um número, que esteja fora do radical, no radicando, basta elevarmos esse número a uma potência igual ao índice do radical.
Exemplos:

.

Importante:
não é igual a
não é igual a 
não é igual a 
não é igual a 

REDUÇÃO DE RADICAIS A UM MESMO ÍNDICE
Regra Prática:
a) Acha-se o M.M.C. dos índices dos radicais. Esse será o índice comum.
b) Divide-se o índice comum achado pelo índice de cada radical,
os quocientes obtidos multiplicam-se pelos expoentes dos respectivos radicandos.
Exemplo: Reduzir ao mesmo índice os radicais

Solução: O М.М.С. (3, 2, 4) = 12 que será o índice comum dos radicais.
Dividindo-se 12 por cada índice temos 12÷3 = 4; 12÷2 = 6 e 12÷4 = 3
Multiplicando-se esses quocientes pelos expoentes de cada radicando, teremos:

OPERAÇÕES COM RADICAIS
a) Adição e Subtração: Só podemos somar e subtrair radicais semelhantes, isto é, aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando
Somamos algebricamente os coeficientes e juntamos a essa soma o radical comum.
Exemplos:
i) 
ii) 

b) Multiplicação e Divisão: Só podemos multiplicar ou dividir radicais de mesmo índice. Se os radicais forem de índices diferentes devemos reduzi-los a um índice comum.

Multiplicação
Para multiplicar dois ou mais radicais de mesmo índice, é bastante multiplicar os radicandos e colocar o produto obtido sob um radical de mesmo índice dos radicais dos fatores.
Exemplos:
i)  
ii) 

Divisão:
O quociente de dois radicais de mesmo índice, é um radical de índice igual e que tem para radicando o quociente dos radicandos.
Exemplos:
i) 
ii) 

Olhe: Qualquer radical pode ser transformado em uma potência de expoente fracionário e vice-versa. Veja com atenção.

Exemplos


RACIONALIZAÇÃO DE RADICAIS
Fração Irracional: E toda fração em que pelo menos um de seus
termos e constituído por um radical
Exemplos

Racionalizar uma fração em cujo numerador ou denominador figura um radical, é encontrar outra fração equivalente à fração dada em cujo numerador ou denominador não contenha mais o radical. O mais comum é racionalizar o denominador
Estudaremos os casos mais simples da Racionalização:
Primeiro Caso: O denominador contém um só radical.
Multiplicamos ambos os termos da fração por outro radical do mesmo
grau, de modo que o produto dos radicandos se torne raiz exata.

Relembre que: 
Generalizando, temos:  ou  ⇒ Multiplicamos ambos os termos da fração por 
 ⇒ Multiplicamos ambos os temos da fração por  porque 

01. Racionalizar a fração .
Solução: 
Multiplicando-se ambos os termos da fração por  obteremos:


02. Racionalizar a fração .
Solução:
Multiplicando-se ambos os termos da fração por , obtemos:


03. Racionalizar a fracão .
Solucão:


04. Racionalizar as frações abaixo relacionados:

Respostas:


Segundo Caso: O denominador é formado pela soma ou diferença de dois termos dos quais um, pelo menos, é um radical.
Multiplicam-se ambos os termos pelo conjugado do denominador
Olhe:
i) Chama-se conjugado da soma (a + b) a diferença (a - b).
i) Chama-se conjugado da diferença (a - b) a soma (a + b).
ii) Relembre que: (a + b)(a - b) = a² - b².

05. Seja racionalizar:

Solução:
Multiplicando-se os dois termos da fração pelo conjugado , obteremos:


06. Racionalizar a fração

Solução:
Multiplicando-se os dois termos da fração pelo conjugado  obteremos:


07. Racionalizar a fracão

Solução:


08. Racionalizar as frações abaixo:


Respostas


EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

01) Reduzir os radicais ao mesmo índice:


Respostas:


02) Simplificar os radicais:

Respostas:


03) Introduzir sob o radical os fatores de cada uma das expressões abaixo

Respostas


04) Colocar fora do radical os fatores dos radicandos:

Respostas:


05) Efetuar as operações abaixo:

Respostas:


06) Efetue as multiplicações a seguir:

Respostas:


07) Efetue as divisões abaixo:

Respostas:


08) Simplificando a expressão , obteremos:
R: 
09) Simplificando a expressão , obteremos:
R: 
10) Simplificando a expressão, obtém-se:
R: 0
11) Efetuando-se  , obtém-se:
R: 2
12) Simplificando-se a expressão, obtém-se:
R: 

13) O valor da expressão  , para , é:
R: 3
14) Simplificando a expressão  obtém-se:
R: 1
15) Simplificando a expressão , obteremos:
R: 

16) Simplificando a expressão , obteremos:
R: 5
17) Determine o valor de 
R: 1/4

18) Se a e b são números reais estritamente positivos, simplificando a expressão
, obteremos:
R: 

19) Se  e , então:
R: y = x

20) Simplificando a expressão  temos:
R:

21) Calcular o valor de.
R: 8

22) Simplificar a expressão .
R: ac{1}{12}}" />

23) Simplificar a expressão .
R: 2a

24) Simplificando a expressão . obtém-se:
R: 2

25) Resolver e simplificar .
R: 2

26) Calcule o valor da expressão 
R: 12

27) Calcule o valor da expressão
R: 25

28) Calcule.
R: 7/4
29) Calcule
R: 64

30) Calcule: 
R:

31) Calcule o valor da expressão

: 

R: 28

32) Simplificando as somas abaixo:



Respostas
a) 6
b) 2
c) 10/

33) Determine o valor da expressão
R: a) 1/8      b) 1/6      c) - 1/8      d) - 1/6      

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