De um modo geral, se tivermos a × a × a ... a × a podemos escrever a × a × a × a ... a = am.
Produto este com m fatores, onde a é a BASE da potência, isto é, o fator que se repete e m o EXPOENTE, número que indica quantas vezes a base será tomada como fator. Daí a definição:
POTENCIAÇÃO
É um produto de tantos fatores iguais a base quantas são as unidades do expoente.
Verifica-se, pela definição, que a Potenciação só estará definida para expoentes superiores à unidade, pois não existem produtos com menos de dois fatores, mas isto não exclui a possibilidade de aparecerem potências com expoentes iguais a um, zero ou negativo, como veremos mais adiante.
a) Potências de mesma base: São as potências que possuem uma base comum.
Exemplos: 52, 53, 55 ou 22, 24
b) Potências semelhantes: São as potências que possuem o mesmo expoente e bases diferentes.
Exemplos: 23, 43, 73
OPERAÇÕES COM POTENCIAS
1) Produto de Potências de Mesma Base:
Seja o produto, 23 × 24. Como 23 = 2 × 2 × 2 e como 24 = 2 x 2 x 2 x 2, poderemos escrever 23 x 24 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27, por definição.
Então 23 x 24 = 23+4. De onde se conclui que:
- Para se multiplicar potências de mesma base, dá se a base comum e somam-se os expoentes
23 x 25 = 28
32x3x 34 = 37
Neste último exemplo, observe que, para o fator 3 está subtendido o expoente um.
OBSERVAÇÕES:
a) Base zero:
Pela definição de potência temos que:
03 = 0 × 0 x 0 = 0, Veja que, um produto onde todos os fatores são iguais a zero, é claro que o resultado deverá ser zero. Logo:
Zero elevado a qualquer número diferente de zero, será sempre igual a zero.
Exemplos:
02 = 0 x 0 = 0
05 = 0
038 = 0
b) Base um:
Seja a potencia 13, por definição, temos que 13 = 1 x 1 x 1 = 1. Um produto onde todos os fatores são iguais a um, o resultado deverá ser um.
Então:
- Qualquer potencia de 1 é sempre igual a 1
12 = 1 x 1 = 1
15 = 1
123 = 1
2) Divisão de Potências de Mesma Base
Seja a divisão 45 ÷ 43, Observe que 45 ÷ 43 =
- Para dividir potencias de mesma base, dá-se a base comum e subtrai-se o expoente do divisor do expoente do dividendo.
27 ÷ 24 = 23
36 ÷ 32 = 34
Observações:
a) Expoente Zero
De acordo com a regra de potências de mesma base, temos que:
24 ÷ 24 = 24-4 = 20
Como o expoente indica quantos fatores deverá possuir o produto, este resultado 20 não encontra apoio na definição, visto que não existe um produto sem fatores. Entretanto, quando numa divisão, o divisor é igual ao dividendo, o quociente será igual a um, isto é, 24 ÷ 24 = 1.
Na matemática existe um princípio que diz: "Duas quantidades diferentes, sendo iguais a uma terceira, elas serão iguais entre si".
Como: 24 ÷ 24 = 20 e 24 ÷ 24 = 1 então 20 = 1. De onde podemos concluir que:
- Qualquer número, diferente de zero, elevado ao expoente zero, é igual a 1
30 = 1
(0,23)0 = 1
Veja: 00 não é igual a 1, pois se trata de uma indeterminação matemática
b) Expoente um:
Observe que 31 é outra expressão que não encontra apoio na definição de potência, pois não existe produto com apenas um fator. Mas, por convenção, temos que:
- Toda potencia cujo expoente e a unidade, será igual a própria base.
21 = 2
2561 = 256
c) Expoente negativo
Seja 43 ÷ 45. Baseado na regra da divisão de potência de mesma base, teremos:
43 ÷ 45 = 43-5 = 4-2
Resultado este que não se enquadra na definição de potência, visto que não poderá haver um produto com um número negativo de fatores.
Mas, por outro lado, tem-se que:
Como 43 ÷ 45 = 4-2 e 43 ÷ 45 = 1/42 tendo como base o mesmo princípio, enunciado anteriormente podemos escrever que: 4-2 = 1/42
De onde se conclui que:
- Todo número elevado a um expoente negativo, é igual a uma fração que tem para numerador a unidade e para denominador o próprio número elevado a esse expoente positivo.
5-3 = 1/53
3-4 = 1/34
3) Potência de Outra Potência
Seja (23)4. Observe que a base relativa ao expoente 4 é 23, Logo, pela definição de potência e pela regra de multiplicação de potências de mesma base, tem-se:
(23)4 = 23x23x23x23
23+3+3+3 = 212.
Então:
- Para se elevar uma potência, a outra potencia, multiplica-se os expoentes
(23)2 = 26
(34)5 = 320
OBSERVAÇÃO:
Veja que (23)2 ≠ 23² pois (23)2 = 26 = 64 e 23² = 29 = 512. Neste caso, quem está elevado a 2 é somente o 3. De um modo geral, tem-se: (am)2 ≠ am²
4) Potência de uma Fração:
Seja a potência
Por definição, temos que:
De onde podemos concluir que:
- Para se elevar uma fracão a uma potencia, eleva-se o numerador e o denominador a essa potencia.
Veja!! Quando se tratar de um número misto, devemos primeiramente transformá-lo numa fração imprópria para, em seguida, aplicarmos a regra anterior.
Exemplos
5) Uma Fração Elevada a um Expoente Negativo
Seja 2/3 elevado ao expoente -2, isto é, De acordo com a regra do expoente negativo, vem:
De acordo com a regra da potência uma fração, temos:
De uma maneira mais direta, poderíamos escrever que:
De onde concluímos que:
- Para se elevar uma fração a um expoente negativo, eleva-se a expoente positivo o inverso da fração.
6) Potência de Um Produto
Seja o produto (2 x 4)3. Aplicando a definição de potência, podemos escrever:
(2 x 4)3 = 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 = 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 = 23 x 43
De onde se conclui que:
- Para se elevar um produto a uma potencia, multiplica-se o expoente de cada fator pelo expoente da potência dada.
(3 x 2 x 4)3 = 33 x 23 x 43
(23 x 42)5 = 215 x 210
(22 x 3)4 = 28 x 34
7) Potência de Base Dez
Sejam as seguintes potências 101, 102, 103, 104. Aplicando-se a definição de potência, temos:
101 = 10
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1.000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000
Pelos exemplos expostos, é fácil concluir que;
- Toda potência de 10 é igual a 1, seguido de tantos zeros quantas são as unidades do expoente
107 = 10.000.000
105 = 100.000
8) Potência de um Número Decimal
Sejam as potências (0,2)3, (0,5)2 e (0,25)2
Aplicando-se a definição de potência, obteremos os seguintes resultados:
(0,2)3 = 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008
(0,5)2 = 0,5 x 0,5 = 0,25
(0,25)2 = 0,25 x 0,25 0,0625
Pelos resultados obtidos, podemos concluir que:
- Para se elevar um número decimal a uma potência, calcula-se a potencia como se fosse de um número inteiro e, no resultado, separa-se da direita para a esquerda, tantas casas decimais quantas forem a do produto do expoente pelo número de casas decimais existentes no número dado.
9) Potência De Números Relativos
1° CASO: Potência de um número positivo.
- Toda potencia de um número positivo será sempre positiva
(+2)2 = +4
(+2)3 = +8
(+2)4 = +16
(+2)5 = +32
2º CASO: Potência de um número negativo.
- A potência de um número negativo será positiva se o expoente for par e negativa se o expoente for impar
(-2)2 = +4
(-2)3 = -8
(-3)4 = +81
(-3)3 = -27
Veja: Para n par, teremos: (-a)n ≠ -an. Pois no primeiro membro, a base da potência é -a, logo o sinal pertence à base, ao passo que, no segundo membro, o sinal não pertence à base.
Então: (-2)4 ≠ -24 pois (-2)4 = +16, enquanto que -24 = -16
10) Soma e Subtração de Potência
Não existem regras especiais para o caso de soma e subtração de potências. Em tais casos, calcula-se o valor de cada potência e efetua-se as operações indicadas.
Exemplos
23 + 25 = 8 + 32 = 40
32 - 3 + 42 = 9 - 3 + 16 = 22
11) Comparação de Potência
Sejam a, m e p números quaisquer diferentes de zero, onde a é a base e m e p os expoentes.
1º CASO: A base é maior do que um, isto é, a > 1.
Exemplos:
104 > 102
35 > 32
22 < 23
2º CASO: A base está compreendida entre zero e um, isto é:
0 < a < 1.
Exemplos:
01) Calcular as potências abaixo relacionadas:
a) 34
b) 05
c) 17
d) (0,13)0
e) (1,5)2
f) 104
g) -26
h) (0,12)-2
l) 23²
Respostas:
a) 81 b) 0 c) 1
d) 1 e) 2,25 f) 10.000
g) -64 h) 1/0,0144 i) 8/27
j) 9 l) 512 m) 9/4
n) 63/65 o) 3 p) 4/9
02) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as igualdades abaixo relacionadas
a) 33 x 32 = 36
b) (2 + 3)2 = 22 + 32
c) (42)3 = 46
d) 2-3 = -8
e) 3 x 3-1 = 1
f) 23 x 3 = 63
g) 2-1 - 3-1 = 6-1
h) 52 - 42 = 32
i) 2-1 + 3-1 = 1/2+3
j) (22)3 = (23)2
Respostas
a) F b) F c) V d) F e) V
f) F g) V h) V i) F j) V
03) Calcule o número natural x sabendo que:
a) x = 25 - 52
b) x = 42 - 161
c) x = 32 - 90
d) x = 31 - 30
e) x = 100 - 2-2
f) x = 80 + 23 - 32
Respostas:
a) 7 d) 2
b) 0 e) 3/4
c) 8 f) 0
04) Transforme em potência de 10:
a) 0,001 b) 1.0005 c) 0,013
Respostas:
a) 10-3 b) 1015 c) 10-6
05) Efetuando a operação abaixo obteremos:
R: 13/10
06) Qual das igualdades abaixo é verdadeira:
R: d
07) Sendo a e b dois números naturais, diferentes de zero, e sabendo que a = b, pode-se concluir que a expressão verdadeira é:
a) a * b = 0
b) a * b = 2a
c) a * b = 1
d) a * b = a2
R: d
O valor de A-1 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
R: b
é equivalente a:
a) 0,0625 b) 0,5 c)5 d) 6,25
R: a
10) O valor do produto ax+y * ax-y é:
a) axy b) ax c) ay d) a2x
R: d
11) Ao simplificar a expressão abaixo obtém-se:
a) a + b
b) a - b
c) a
d) b
R: a
12) A expressão 3x+3 * 3x-3 é igual a
a) 3 b) 9 c) 81 d) 27
R: b
13) O valor da expressão E = 8ab/c, onde: a = 20 - 4-1 , b = 40 - 2-1
e c = 30 + 2-1 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
R: b
14) O valor da expressão
é igual a:
a) 2/7
b) 22/4
c) 7/2
d) 13/4
R: c
15) Efetuando-se a soma (0,1)1 + (0,1)2 + (0,1)3 obtemos:
a) 111 b) 11,1 c) 1,11 d) 0,111
R: d
16) Somando-se 2560,16*2560,09 com 6250,17*6250,08, temos:
a) 4 b) 256 c) 9 d) 625
R: c
17) O valor da expressão abaixo é igual a:
a) 2/3 b) 2 c) 1 d) 3
R: b
18) Verificar se 1020 é menor que 9010
R: Falso
19) O valor de A na expressão abaixo é:
a) 1 b) 5 c) 25 d) 3
R: a
20) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57 e c4 = 58, então temos que (a*b*c)9 vale:
a) 521 b) 544 c) 5189 d) 566
R: d
21) Sabendo-se que "n" é um número par e "a" é diferente de zero, a expressão abaixo pode ser escrita como:
a) an b) a-n c) a2n d) Zero
R: b
22) Calcule o valor de k = (a + c)/7b onde a = 20 + 2-1; b = 3-1 + 30 e c = 2-1 + 3-1
R: k = 1/4
23) Sendo x e y diferentes de zero, é falsa a igualdade:
a) 10x * 10y = 10x+y
b) (10x)y = (10y)x
c) 10x : 10y = 10x-y
d) (10x)x = 102x
R: d
24) A expressão(3-2)2 é igual a:
a) -1/81
b) 1/81
c) (-6)2
d) 30
R: b
25) Simplificando a expressão abaixo temos:
a) 100 b) 101 c) 10-2 d) 10-3
R: c
26) Calcule o valor de x-1 na igualdade
R: 2
27) Sabendo que
R: 10
28) Calcule y sabendo que
R: a6
29) Se x = 10-3, determine
R: 10x
30) Se 101,5 = a, então 104 vale:
a) 100a b)10a c) 10a² d)2a
R: c
31) Se K é um número inteiro e positivo, então y = (-1)k + (-1)k+1 é:
a) 2 b) 1 c) 0 d) depende de K
R: c
32) Simplificando
a)86 b) 2 c) 16
R: d
33) Se A = (62 x 95)-4, então A é igual a:
a) 1/4 b) 1/5440 c) 3-24 x 2-6 d) 1/28 x 348
R: d
34) Simplificar a expressão abaixo.
R: a42 x b-24
35) Qual a representação decimal de 0,01³?
R: 0,000001
36) Sendo a ≠ 0 e b ≠ 0 simplifique
R: b x (b² + a²)
37) Calcule xp * yq * zt = xp+q+t, então:
a) x = y ≠ z
b) x = y = z
c) x = z ≠ y
d) z ≠ y ≠ x
R: b
38) Se a² = 996, b³ = 997, e c4 = 998, então (a x b x c)12 vale:
a) 9988 b) 9999 c) 9912 d) 9928
R: a
39) A metade de 222 é:
a) 211 b) 1 c) 11 d) 221
R: d
40) Calcule o valor da expressão
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
R: a
41) Ao se efetuar a divisão:
resulta:a) 0 b) 1 c) 2 d) 4
R: c
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