Equação do Segundo Grau

Uma equação é do segundo grau quando se apresenta sob a forma ax² + bx + c = 0 para quaisquer valores atribuídos a a, b e c, mas a ≠ 0.
Na forma ax² + bx + c = 0, temos:
x é a incógnita ou variável
a e b os coeficientes
c o termo independente.

Exemplo: Na equação x² - 3x + 2 = 0, temos
a = 1; b = -3 e c = 2
Uma equação do segundo grau é dita incompleta se, pelo menos
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0
Logo, as equações incompletas serão da forma:
para c = 0 temos ax² + bx = 0
para b = 0 temos ax² + c = 0
para b = c = 0 temos ax² = 0
Resolveremos, a seguir, os dois primeiros tipos de equações incompletas do segundo grau.

EQUAÇÃO DA FORMA: ax² + bx = 0
Solução:
Colocando x em evidência, temos: x(ax + b) = 0
Observe que temos um produto igual a zero, mas para que um produto seja igual a zero, é necessário que pelo menos um de seus fatores seja igual a zero, isto é: x = 0 ou ax + b = 0.
De ax + b = 0, temos ax = -b, logo: x = ^-b/_a
Então, as raízes da equação da forma ax² + bx = 0 são: x' = 0 e x" = ^-b/_a

01) Resolver a equação: 3x² - 18x = 0.
Solução:
Colocando-se x em evidência, temos:
x(3x - 18) = 0
Então ou x = 0 ou 3x - 18 = 0
Resolvendo-se a equação 3x - 18 = 0, resulta:
3x - 18 = 0
3x = 18
x = 6
Logo, as raízes da equação são: x,= 0 e x = 6

Resolver as equações abaixo relacionadas:
02) x² - 9x = 0
03) 2x² + 8x = 0
04) 25x² - 100x = 0
05) x² - 7x = 0
06) x² - 6x = 0
07) 2x² - 4x = 0
08) 9x² - 4x = 0
09) 4x² - 20x = 0
10) 3x² + 18x = 0
11) -x² + 3x = 0

Respostas:
02) x' = 0 e x" = 9
03) x' = 0 e x"-4
04) x' = 0 e x"= 4
05) x' = 0 e x" = 7
06) x' = 0 e x" = 6
07) x' = 0 e x" = 2
08) x' = 0 e x" = ²/₃
09) x' = 0 e x" = 5
10) x' = 0 e x" = -6
11) x' = 0 e x" = 3

EQUAÇÃO DA FORMA: ax² + c = 0
Solução:
Transpondo a constante c para o segundo membro, resulta: ax² = -c
Dividindo ambos os membros da equação pelo coeficiente a, temos:
$x^{2} = \frac{-c}{a}$
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, vem:
$x = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$

Olhe:
a) Se -^c/_a ≥ 0, isto é, positivo, a equação tem duas raízes iguais e simétricas.
${x}'=-\sqrt{-\frac{c}{a}}\,\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\,{x}''=+\sqrt{-\frac{c}{a}}$
b) Se -^c/_a ≤ 0, isto é, negativo, a equação não terá solução no conjunto dos números reais, estando fora, portanto, do objetivo desse livro.

12) Resolver a equação: x² - 49 = 0.
Solução:
Passando -49 para o segundo membro, temos: x² = 49
Extraindo a raiz quadrada, vem: x = $\pm \sqrt{49}$ , portanto x = ±7
Assim: x' = -7 e x" = 7 são as raízes da equação.

Resolver as equações abaixo relacionadas:
13) 2x² - 32 = 0
14) 3x² - 3 = 0
15) x² - 25 = 0
16) (x - 3)(x + 3) = 0
17) 9x² - 1 = 0
18) 25x² - 16 = 0
19) 4 - x²/9 = 0
20) x² - 4 = 0
21) x² - 5 = 0
22) 4x² - 9 = 0

Respostas:
13) x' = -4 e x" = 4
14) x' = -1 e x" = -1
15) x' = -5 e x" = 5
16) x' = -3 e x" = 3
17) х' = -1/3 e x" = 1/3
18) x' = -4/5 e x" = 4/5
19) х' = -6 е х" = 6
20) x' = -2 e x" = 2
21) x' = $-\sqrt{5}$ e x" = $\sqrt{5}$
22) x' = -3/2 e х" = 3/2

EQUAÇÃO COMPLETA DO SEGUNDO GRAU

Como já vimos, é toda equação da forma ax² + bx + c = 0.
A sua fórmula resolutiva é
$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

23) Resolver a equação: x² - 8x + 15 = 0.
Solução:
Aplicando a fórmula, vem:
$x=\dfrac{8\pm \sqrt{64-4(1)(15)}}{2*1}$
$x=\dfrac{8\pm \sqrt{64-60}}{2}$
$x=\dfrac{8\pm \sqrt{4}}{2}=\dfrac{8\pm 2}{2}$
no que resulta:
${x}'=\dfrac{8-2}{2}=3\,\,\,e\,\,\,{x}''=\dfrac{8 + 2}{2}=5$

24) Resolver a equação: x² - 9x + 18 = 0
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
${x}'=\dfrac{8-2}{2}=3\,\,\,e\,\,\,{x}''=\dfrac{8 + 2}{2}=5$
$x=\dfrac{9\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{9\pm 3}{2}$
no que resulta:
${x}'=\dfrac{9-3}{2}=3\,\,\,e\,\,\,{x}''=\dfrac{9 + 3}{2}=6$

Resolver as equações abaixo relacionadas:
25) x² - 3x + 2 = 0
26) x² - 5x + 6 = 0
27) x² - 7x + 12 = 0
28) -x² + 6x - 5 = 0
29) x² + 2x - 8 = 0
30) x(x - 3) + 2 = 0
31) x(x - 2) = 3(x - 2)
$\textbf{32)} \,\,\,\dfrac{{\,\,\,\,x}^{2}}{6}=\frac{3x}{2}-3$
$\textbf{33)} \,\,\,2x-\frac{3x}{2}+\frac{1}{4}=0$
$\textbf{34)} \,\,\,\frac{2x^{2}}{5}-\frac{1}{6}+\frac{4x}{3}-\frac{12x}{5}=x-\frac{1}{2}$

Respostas
25) х' = 1 e x" = 2
26) х' = 2 е х" = 3
27) х' = 3 e x" = 4
28) x' = 1 e x" = 5
29) x' = -4 e x" = 2
30) x' = 1 e x" = 2
31) х' = 2 e x" = 3
32) x' = 3 e x" = 6
33) x' = ¹/₄ e x" = ¹/₂
34) x' = ¹/₆ e x" = 5

Veja Com Atenção:
Quando numa equação do segundo grau o coeficiente do termo do 2° grau, isto é, o a for igual a 1, como por exemplo: x² - 7x + 12 = 0
Devemos, para maior facilidade, aplicar a fórmula: x² - Sx + P onde P representa o produto das raízes e S, o simétrico da soma das raízes.
No caso da equação x² - 7x + 12 = 0, você deverá tentar descobrir dois números que multiplicados de 12 e somados de 7.
Siga o seguinte roteiro:
Primeiramente, olhe para o sinal do produto, se ele for positivo você deverá concluir que as raízes possuem o mesmo sinal, isto porque:

- * - = +

+ * + = +

Se ele for negativo, é porque as raízes possuem sinais contrários, isto porque:

+ * - = -

- * + = -

Em seguida veja o sinal da soma das raízes, se ele for positivo é porque a soma das raízes deverá ser negativa; e se ele for negativo é porque a soma das raízes deverá ser positiva pois -S indica o simétrico da soma das raízes da equação.
Então, na resolução de uma equação do tipo x² - 7x + 12 = 0 não há necessidade de se recorrer a fórmula já conhecida.
Conclua que x' = 3 e x" = 4 pois 3 x 4 = 12 e 3 + 4 = 7

35) Resolva as equações abaixo relacionadas:
a) x² - 5x + 6 = 0
b) x² - 9x + 20 = 0
c) x² + 4x - 21 = 0
d) x² - 12x + 20 = 0
e) x² - 6x - 16 = 0
f) x² -11x +28 = 0

Respostas:
a) x' = 2 e x" = 3
b) x' = 4 e x” = 5
c) x' = -7 e x” = 3
d) x' = 2 e x" = 10
e) x' = -2 e x" = 8
f) x' = 4 e x" = 7

EXISTÊNCIA DAS RAÍZES

Depende do sinal de Δ = b² - 4ac.
para Δ > 0 a equação terá duas raízes reais e distintas;
para Δ 0 a equação terá duas raízes reais e iguais;
para Δ < 0 a equação não possui raiz real

36) Determine os valores de m para que a equação abaixo admita raízes reais e desiguais. 3x² - 6x + m = 0
Solução:
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
b² - 4ac > 0.
Como a = 3; b = -6 e c = m,temos:
(-6)² - 4*3*m = 0
36 - 12m > 0 ⇒ -12m > -36 ⇒ m < 3
Logo, m deverá ser menor do que 3, para que a equação admita raízes reais e distintas.

36) Determine o valor de m para que a equação x² - 6x + 3m = 0 admita raízes reais e iguais.
R: 3

37) Determinar os valores de m na equação x² - 10x + 2m - 1 = 0 para que suas raízes sejam reais e desiguais.
R: m> 13

38) Qual o valor de k para que a equação x² - 4x + k - 3 = 0 tenha raízes reais e desiguais.
R: k < 7

39) Dada a equação 3kx² - 2x - 1 = 0 determinar k para que ela tenha raízes reais iguais.
R: k = -1/3

40) Determinar k na equação 4x² - 8x + 2k = 0, para que a equação possua raízes desiguais.
R: k <2

41) Determinar o valor de m para que a equação abaixo admita raízes iguais. x² + 2x + 2mx + m² = 0
R: m = -1/2

42) Calcular m na equação mx² - 2mx +3 = 0 de modo que ela possua duas raízes reais e iguais.
R: m = 4

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES
$$Soma \,\,das \,\,Ra\'{i}zes\,\,\,\,\,$\Rightarrow \,\,\,\,\,\,{x}'+{x}''=\frac{-b}{a}$
$$Produto \,\,das \,\,Ra\'{i}zes\,\,\,\,\,$\Rightarrow \,\,\,\,\,\,{x}'\ast {x}''=\frac{c}{a}$
$$Diferen\c{c}a \,\,das \,\,Ra\'{i}zes\,\,\,\,\,$\Rightarrow \,\,\,\,\,\,{x}'- {x}''=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$

43) Achar a soma, a diferença e o produto das raízes da equação: x² + x - 12 = 0.
R: x' + x" = -1
x' - x" = 7
x' * x" = -12

44) Determinar o valor de k para que as raízes da equação 2x² - 5x + k = 0 sejam inversas.
Solução:
Se as raízes são inversas é claro que o produto das raízes é igual a 1.
Como x' * x" = ^c/_a, temos x' * x" = ^k/₂
Logo, ^k/₂ = 1 ⇒ k = 2

45) Determine o valor de m para que as raízes da equação (m + 4)x² + 7x + 3m = 0 sejam inversas.
R: 2

46) Determinar m, de modo que uma das raízes da equação (m-1)x² - 8x + 3 = 0 seja o inverso da outra.
R: 4

47) Calcular n de modo que a soma das raízes da equação:
x² - (2m - 1)x + n² - n - 12 = 0 seja 9.
R: 5

48) Determine k na equação (k + 2)x² - 5x + 2k = 0 para que suas raízes sejam inversas.
R: 2

49) Calcule o valor de m na equação 2x² + (4m - 8)x + 50 = 0 de modo que as raízes sejam simétricas.
R: 2

50) Dada a equação x² - 2(a - b)x + (a + b)² = 0, calcule a média aritmética e a média geométrica de suas raízes.
R: Ma = a - b Mg = a + b

51) Determinar m na equação (m-2)x² - (2m - 1)x + m + 2 = 0 para que a soma das raízes seja 1/4.
R: 2/7

52) Calcule h na equação (h + 3)x² -(2h - 2)x + h + 4 = 0 de modo que a soma dos inversos das raízes seja igual a 1/3.
R: 2

53) Sendo R e S as raízes da equação 2x² - 4x - 7 = 0 calcule o valor da expressão (R + S + 1)(R + S - 1).
R: 3

54) Determine k na equação x² - 4x + k = 0, sabendo que R e S são as raízes da equação e que S^Sx R^Rx S^Rx R^S = 16.
R: k = 2

55) Determinar k na equação x² + kx + 36 = 0, de modo que entre suas
raízes exista a relação
$\frac{1}{{x}'}+\frac{1}{{x}''}=\frac{5}{12}$
R: 15

56) Calcular m de modo que a média harmônica das raízes da equação 2x² - x + m = 0 seja igual a 10.
R: 5

57) Determinar k na equação x² - 4x + k = 0 sendo R e S as suas raízes e S^Sx R^Rx S^Rx R^S = 256
R: 4

58) Dada a equação x² - 5x + m = 0, achar m de modo que a soma dos inversos das raízes seja 5/4.
R: 4

59) Determinar k na equação x² - 10x + k = 0, de modo que uma raiz seja o quádruplo da outra.
R: 16

60) Determinar k na equação x² - 7x + k = 0, de modo que suas raízes
sejam números inteiros positivos e consecutivos.
R: 12