Sistemas de Equação do Primeiro Grau

Chamamos de sistema de equação, ao conjunto formado por duas ou mais equações. O nosso estudo se restringirá apenas, aos sistemas de duas equações.

As equações que entrarão na sua formação, serão da forma: ax + by = c onde: x e y são as variáveis; a e b os coeficientes e c o termo independente.
Como estudaremos apenas os sistemas formados por duas equações, a sua forma geral será:

Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas variáveis, possuem uma infinidade de soluções.
Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variáveis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução.
Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas.
Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do primeiro grau, empregamos os processos de Adição, Substituição e Comparação, os quais passaremos a estudá-los separadamente.

ADIÇÃO
a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários;
b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita;
c) Resolve-se esta equação, obtendo-se,assim, o valor de uma incógnita;
d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita, conseqüentemente, a solução do sistema.

01) Resolver o sistema:

Solução:
Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos a segunda equação por 2, no que resulta:

Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, logo: x = 7
Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, que resolvida dará: y = 2.
Logo, V = (7, 2) que é o conjunto verdade da equação.

02) Resolver o sistema:

Solução:
Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda por 3, temos:

Somando, membro a membro, teremos: 19x = 19, onde x = 1.
Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = (1,2)

Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO:
  
     

     
  
     

     

     

     
  
     

     

     

     

Respostas:
03) S = (21,11)         08) S = (1,2)
04) S = (7,10)           09) S = (5,1)
05) S = (1,1)             10) S = (2,1)
06) S = (2,-2)            11) S = (3,2)
07) S = (6,1)             12) S = (5,1)

SUBSTITUIÇÃO

a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar;
b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira;
c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontrando-se, dessa forma, o valor dessa incógnita;
d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema.

13) Resolver o sistema:

Solução:
Resolvendo a primeira equação em relação a x, temos: x = 1 - 2y.
Substituindo, na segunda equação, o valor de x, isto é, 1 - 2y, vem:
2x - y = 7.
2(1 - 2y) - y = 7 que resolvida, dará: y = -1.
Substituindo o valor de y em x 1 - 2y, temos: x = 3.
Logo: S = (3,-1) que é o conjunto verdade da equação.

14) Resolver o sistema:

Solução:
Tirando o valor da variável x na primeira equação, temos: x = 10 - y
Substituindo, na segunda equação, o valor de x, vem: 10 - y - y = 2 que resolvida, resulta: y = 4.
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do sistema ou na expressão x = 10 - y, encontraremos o valor da variável x que será: x = 6.
Então, o conjunto solução será: S = (6,4).

Resolver os sistemas abaixo, pelo método da SUBSTITUIÇÃO
      

     

     

     

     

     

     

     

     

     

Respostas:
15) S = (6,5)             20) S = (1,2)
16) S = (30,16)         21) S = (4,3) 
17) S = (2,1)             22) S = (2,-1)
18) S = (3,6)             23) S = (6,1)
19) S = (5,1)             24) S = (7,4)

25) Resolver o sistema:
Solução
Tirando-se o valor de x em cada equação, temos: x = 5 - y e x = 1 + y
Comparando-se os dois valores e resolvendo a equação resultante, temos:
5 - y = 1 + y, que resolvida nos dá y = 2.
Substituindo o valor de y em x = -y + 5, resulta x = 3. Logo: S = (3,2)

COMPARAÇÃO

a) Resolve-se as duas equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar,
b) Compara-se os dois valores desta incógnita e resolve-se a equação resultante, obtendo-se assim o valor de uma incógnita;
c) Substitui-se o valor dessa incógnita, em qualquer uma das equações do sistema, obtendo-se o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema

26) Resolva o sistema:
Solução: Tirando-se o valor de x, em cada equação, temos:
x= 15 - y  e  x = 1 + y
Comparando-se os dois valores resultantes, vem:
15 - y = 1 + y
Resolvendo-se a equação, temos: y = 7.
Substituindo-se o valor de y em qualquer uma das equações ou nas expressões x = 15 - y ou x = 1 + y, encontraremos x = 8, Logo, o conjunto solução será: S = (8,7).

Resolver os sistemas abaixo, pelo método da COMPARAÇÃO

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

Respostas:
27) S = (7,-1)          32) S = (4,5)
28) S = (5,2)           33) S = (3,4)
29) S = (3,-1)          34) S = (1,1)
30) S = (2,11)         35) S = (2,3)
31) S = (6,0)           36) S = (4,2)

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