Números Decimais

DEFINIÇÃO: São todos os números caracterizados pela presença de uma vírgula
0,2 0,3 2.35 125,24

Olhe: Todo número decimal é formado de duas partes

Parte Inteira: É a que fica à esquerda da vírgula
Parte Decimal: E a que fica à direita da virgula
Exemplo: No número 34,285 temos: 34 é a parte inteira e 285 é a parte decimal.

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS

Primeira: Um número decimal não se altera quando se acrescentam ou se suprimem um ou mais zero à direita de sua parte decimal.
Exemplos:
1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000...
0,5000 = 0,500 = 0,50 = 0,5

Segunda: Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 basta deslocar a vírgula para a direita; uma, duas, três, ..., casas decimais.
Exemplos: Efetuar as seguintes operações:
a) 3,42 x 10
b) 0,165 x 100
c) 1,5 x 1000
Solução:
a) 3,42 x 10 = 34,2
b) 0,165 x 100 = 16,5
c) 1,5 x 1000 = 1500

Terceira: Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1000,... basta deslocar a vírgula para a esquerda; uma, duas, três, ..., casas decimais.
Exemplo: Efetuar as seguintes divisões:
a) 35,4 ÷ 10
b) 228,72 ÷ 100
c) 23,4 ÷ 1000
Solução:
a) 35,4 ÷ 10 = 3,54
b) 228,72 ÷ 100 = 2,2872
c) 23,4 ÷ 1000 = 0,0234

COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

a) As partes inteiras são diferentes:
O maior número será aquele que possuir a maior parte inteira.
Exemplos
3,2 é maior do que 1,879
2,1 é maior do que 1,32274

b) As partes inteiras são iguais
Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.
O maior número será aquele que possuir a maior parte decimal.
Exemplo:
Sejam os números 2,42 e 2,523
Igualando as casas decimais, resulta: 2,420 e 2,523. Como 523 é maior do que 420, então: 2,523 é maior do que 2,42.

Exemplo:
Sejam os números 2,6 e 2,542
Igualando as casas decimais, resulta: 2,600 e 2,542. Como 600 é maior do que 542, então 2,6 é maior do que 2,542.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

ADIÇÃO: Coloca-se virgula debaixo de virgula e opera-se como se fossem números inteiros.

Exemplos:
1,25 + 3,2 + 0,412
1, 250
3, 200
+ 0, 412
4, 862

0,27 + 21,412 + 322,4
0, 270
21, 412
+ 322, 400
344, 082

Efetuar as adições abaixo:

01) 43,21 + 3,423 + 0,59

02) 39,04 + 431,2 + 9,007

03) 4,932 + 27,3005 + 74,007

04) 9,007 + 0,53 + 0,92 + 40,009

05) 7,95 + 1,8 + 9,82 + 8,2

06) 9,4 + 0,28+0,074 + 9,0

07) 2,8 + 13,24 + 29,35

08) 9,78 + 3,09 + 5,36 + 0,0019

Respostas:
01) 47,223 05) 27,77
02) 479,247 06) 18,754
03) 106,2395 07) 44,69
04) 50,466 08) 18,2319

SUBTRAÇÃO: Coloca-se virgula debaixo de virgula. Completa-se as casas decimais com zeros e operara-se como se fossem números inteiros.

Exemplos:

2,6 - 1,234

2,600
- 1,234
1,366

32,4 - 13,27

32,40
- 13,27
19,13

Efetue as subtrações abaixo

09) 43,2 - 21,234
10) 19,378 - 8,6
11) 0,533 - 0,2
12) 37,25 - 9,8762
13) 3,84 - 1,95438
14) 3 - 1,7495
15) 2,784 - 1,9
16) 8,005 - 7,08956

Respostas:

09) 21,966 13) 1,88562

10) 10,778 14) 1,2505
11) 0,333 15) 0,884
12) 27,3738 16) 0,91544

MULTIPLICAÇÃO:

Multiplica se como se fossem números inteiros e, ao produto, damos um número de casas decimais igual à soma do numero de casas decimais existentes nos fatores.

Exemplos:

4,08 x 0,18

4,08

x 0,18

3264

408

0,7344

3,84 x 2,5
3,84
x 2,5
1920
768
9,600

Efetue as multiplicações abaixo

17) 4,6 x 2,8
18) 2,4 x 0,6
19) 31,2 x 4,2
20) 4,74 x 0,39
21) 47,845 x 1,035
22) 0,844 x 3,5
23) 12,8 x 3,2
24) 10,52 x 0,015

Respostas:

17) 12,88 21) 49,519575
18) 1,44 22) 2,954
19) 131,04 23) 40,96
20) 1,8486 24) 0,1578

DIVISÃO:

Iguala-se as casas decimais do dividendo e do divisor e opera-se como se fossem números inteiros

Exemplos
5,580 ÷ 2,5
5,580 |2,500
5800 2,232
800
5000
000

0,16 ÷ 0,0025

0,1600 |0,0025
100 64
000

Efetue as divisões abaixo:

25) 37,78 ÷ 1,6

26) 48,7 ÷ 0,8

27) 0,84816 ÷ 0,72

28) 0648 ÷ 0,036
29) 8,4 ÷ 280

30) 0,16 ÷ 0,0025

31) 7,56 ÷ 3,6

32) 0,84 ÷ 1,4

Respostas:

25) 23,6125 29) 0,03
26) 60,875 30) 64
27) 1,178 31) 2,1
28) 18 32) 0,6

CONVERSÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL

Para obtermos o número decimal equivalente à fração dada, dividimos o numerador pelo denominador.
Vejamos, agora, algumas divisões separadas por casos:

1° CASO:

⁷/₂ = 3,5 ⁵/₂ = 2,5 ⁷/₄ = 1,75

Os resultados obtidos são chamados de Números Decimais Exatos.

⁵/₃ = 1,66... ¹/₃ = 0,33...

⁵/₁₁ = 0,4545... ¹⁶/₉ = 1,77...

2º CASO:

²/₁₅ = 0,1333... ¹¹/₆ = 1,833... ⁷/₆ = 1,166...

Observe que a parte decimal do quociente é formada por algarismos que se repetem indefinidamente.
Os resultados obtidos são chamados de Números Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas.
Período: é a parte que se repete indefinidamente num número decimal periódico.

Olhe: A periodicidade de um número decimal pode ser indicada das seguintes maneiras.
$0,333...=0,(8)=0,\bar{3}=0,\dot{3}$
$0,41666...=0,41(6)=0,41\bar{6}=0,41\dot{6}$

Converter as frações ordinárias abaixo, em números decimais:

33) ¹/₂ 34) ³/₅ 35) ⁵/₈
36) ⁴/₁₁ 37) ⁵/₁₂ 38) ⁷/₁₈

Respostas:
33) 0,5 36) 0,3636...
34) 0,06 37) 0,41666...
35) 0,625 38) 3,888...

DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES E COMPOSTA

Observe as seguintes divisões:
⁵/3 = 1,666... ¹/₃ = 0,33...
⁵/₁₁ = 0,4545... ¹⁶/₉ = 1,77...
Veja que os quocientes obtidos não são números decimais exatos.
Isto porque os números 6, 3, 45 e 7 se repetem indefinidamente.
Números como 1,66... ; 0,33... ; 0,4545... e 1,77 são chamados de Dízimas Periódicas Simples.

Veja as seguintes divisões

²/₁₅ = 0,1333... ⁵/₁₂ = 0,41666... ¹¹/₆ = 1,833...

Observa-se, também, que não são números decimais exatos. Números como 0,133...; 0,4166... e 1,833... são chamados de Dízimas Periódicas Compostas

Olhe: A diferença entre uma Dizima Periódica Simples e uma dízima Periódica Composta é que em uma SIMPLES, os números que se repetem indefinidamente, isto é, o período, vêm logo depois da vírgula: 1,66...; 0,33... Enquanto que, na COMPOSTA, entre a virgula e o período, existem outros números que não se repetem. Veja: 0,41666.: 19333... A estes números damos o nome de parte não periódica

Dízima Periódica Simples: 1,666....
Parte inteira: 1
Período: 6

Dizima Periódica Composta: 1,933...
Parte inteira: 1
Parte não periódica: 9
Período: 3

Você deve ter observado que, tanto as dízimas periódicas simples como as compostas, se originaram da divisão do numerador pelo denominador de certas frações.
Essas frações que deram origem, que geraram as dízimas, são chamadas de GERATRIZ, da dizima periódica. Então, Geratriz da Dizima Periódica é a fração que deu origem à dízima.
Vejamos, agora, as regras para calcularmos a geratriz das dízimas isto é, as frações que deram origem às dizimas.

a) Cálculo da Geratriz de uma Dízima Periódica Simples

É a fração que tem como numerador o período e como denominador um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplo: Calcular a geratriz das dizimas: 0,33... ; 0,4545... e 1,666...
Solução:
0,333... = ³/₉ = ¹/₃

0,4545... = ⁴⁵/₉₉ = ⁵/₁₁

1,666... = 1 + 0,666... = 1 + ⁶/₉ =  ¹⁵/₉ = ⁵/₃

b) Cálculo da Geratriz de uma Dízima Periódica Composta

É uma fração que tem como numerador a parte não periódica seguida de um dos períodos, menos a parte não periódica; e, para denominador, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplo: Calcular as geratrizes das dizimas: 0,133.., 0,41666... e 1,833...
Solução:
$0,1333...=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$

$0,41666...=\frac{416-41}{900}=\frac{375}{900}=\frac{5}{12}$

$1,8333...=1+0,8333...=1+\frac{83-8}{90}=1+\frac{75}{90}=\frac{165}{90}=\frac{11}{6}$

Calcular as geratrizes das seguintes dízimas periódicas simples.

39) 0,4242...   43) 0,611611...
40) 0,7272...   44) 0,135135...
41) 0,711711...   45) 0,234234...
42) 0,036036...   46) 8,513513...

Respostas
39) ¹⁴/₃₃ 43) ⁶¹¹/₉₉₉
40) ⁸/₁₁ 44) ⁵/₃₇
41) ⁷⁹/₁₁₁ 45) ²⁶/₉₁₁₁
42) ⁴/₁₁₁ 46) ⁹⁴⁵/₁₁₁

Calcular as geratrizes das seguintes dízimas periódicas compostas.

47) 0,34848... 51) 0,2355...
48) 0,45888...   52) 0,488...
49) 0,344...   53) 0,38222...
50) 0,566...   54) 2,210303...

Respostas:
47) 23/66 51) 53/225
48) 413/900 52) 22/45
49) 31/90 53) 86/225
50) 17/300 54) 3647/1650

55) Calcular as seguintes expressões:
$a)\,\,\,1\frac{1}{7}-0,666...\div \frac{5}{6}+\frac{2}{7}$

$b)\,\,\,0,1313...\div \frac{1}{7}\ast \frac{1}{9}$

$c)\,\,\,\left ( 0,5+ \frac{3}{5}-0,333... \right )\ast \frac{5}{8}-\frac{1}{6}$

$d)\,\,\, 1,333...\ast \frac{3}{4} \div \frac{1}{3}+0,111...$

Respostas:
a) 22/35
b) 91/891
c) 5/16
d) 31/4

56) Se ^a/_b = 0,37272.., sendo a e b primos entre si, calcule b - a.
R: 69

57) Se 0,4333... é escrito como fração irredutível, calcule a soma do numerador com o denominador desta fração.
R: 43

58) Seja ^p/_q a forma irredutível do número A. Calcule o valor de p - q.
$A=\dfrac{\,\,2\dfrac{3}{4}+1\dfrac{1}{2}\,\,}{4\dfrac{1}{4}-1\dfrac{1}{2}}+1,2336...$
R: 98

CARACTERES DE CONVERTIBILIDADE

Primeiro: Uma fração ordinária irredutível, que não contém no denominador outros fatores diferentes de 2 e de 5, converte-se em um número decimal exato. O número de algarismos decimais é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 e 5.

Exemplo: ⁵/₁₆ = ⁵/₂4 como o denominador não contém outro fator diferente de 2, a fração se converte num número decimal exato e terá 4 algarismos decimais, pois o expoente do fator 2 é 4.

Veja: ⁵/₁₆ = 0,3125

Exemplo: ⁷/₂₅₀ = ⁷/₂_*₅3 converte-se em um número decimal exato, pois não contém outros fatores além do 2 e do 5; e terá 3 casas decimais já que o 3 é o maior expoente dentre os fatores 2 e 5

Veja: ⁷/₂₅₀ = 0,028

Segundo: Uma fração irredutível, cujo denominador não contém o fator 2 nem o fator 5, converte-se em uma Dízima Periódica Simples.

Exemplo: Converter as frações ²/₃, ⁵/₃, ⁵/₁₁ em números decimais.
Solução: como os denominadores das frações não contém os fatores 2 e 5, concluímos que o resultado será uma Dízima Periódica Simples:

²/₃ = 0,666...   ⁵/₃ = 1,666...   ⁵/₁₁ = 0,4545...

Terceiro: Uma fracão irredutível, cujo denominador contiver os fatores 2 ou 5 juntamente com fatores primos diferentes, converte-se em uma Dizima Periódica Composta. O número de algarismo da parte não periódica é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 ou 5.

Exemplo: Converter a fração ⁷/₁₂ em um número decimal.
Solução: Converte-se em uma Dízima Periódica Composta pois, ⁷/₁₂ = ⁷/_2²*3 além do fator 2 aparece o fator 3; e a parte não periódica terá dois algarismos que é o expoente 2 do fator 2.

Veja: ⁷/₁₂ = 0,58333

Em que espécie de número decimal se convertem as frações.

59)  ⁸⁹/₁₆₀ 60) ⁴⁰⁹/₄₂₀ 61) ²³²/₂₃₁ 62) ⁶⁰/₂₁₀ 63) ⁹⁵/₁₈₀

Respostas:
59) Decimal exata
60) Dízima periódica composta
61) Dízima periódica simples
62) Dízima periódica simples
63) Dizima periódica composta

Relembre:
$0,333...=0,(8)=0,\bar{3}=0,\dot{3}$

$0,24545...=0,2(45)=0,2\overline{45}=0,2\dot{4}\dot{5}$

Olhe: O número ou números escritos entre parênteses, encimado por um traço ou ponto: indica o período da dízima

64) Calcular, exatamente, a operação: 2,555... + 0,6363...
R: 3 ¹⁹/₉₉

65) 3,(18) + 1,(45) + 0,(27) + 5,(09)
R: 10

66) (0,5 + 0,333... x 0,25) ÷ (0,833... - 0,25)
R: 1

67) (0,75 + 0,833...) (0,166.. 0,625)

R: 2

$\textbf{68)}\,\,\,\dfrac{\,\,\dfrac{3}{4}-0,35+0,0(6)\,\,}{\,\,0,(3)+0,2-\dfrac{1}{5}\,\,}$
R: 1

69) Com base nos denominadores, dizer a espécie de números decimais que geram as frações: ⁵/₈ e ⁴/₁₃.
R: Decimal exato; dízima periódica simples

70) Determine, com base nos denominadores, que espécie de número decimais geram as frações: ¹⁹/₃₆ e ⁷/₆₂₅.
R: Dízima periódica simples; decimal exato

74) Convertendo-se as frações ⁵/₁₆ e ⁷/₂₅₀ em números decimais, obtém-se números decimais exatos. Com base nos denominadores, quantos algarismos decimais tem cada número.
R: 4 e 3

75) Convertendo-se as frações ¹⁷/₅₄ e ¹⁹/₄₈ em números decimais, obtém-se dízimas periódicas compostas. Calcule, com base nos denominadores, quantos algarismos tem cada parte não periódica.
R: 1 e 4.