Exemplos:
10 - 5 = 9x + 4 e 3x + 2x = 10
Há duas espécies de igualdades algébricas: a identidade e a equação.
IDENTIDADE
E a igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às letras que a compõem. Assim, a igualdade (x + y)² = x² + 2xy + y² é uma identidade, porque qualquer que sejam os valores atribuídos às letras x e y, resultará uma igualdade numérica.
Exemplo:
Se a = 2 e b = 3, calcule (a + b)² = a² + 2ab + b²
(2 + 3)² = 2² + 2*2*3 + 3²
5² = 4 + 12 + 9 ⇒ 25 = 25
EQUAÇÃO
É a igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras que a compõem. Assim, a igualdade 5x - 6 = 2x + 3 é uma equação, porque ela só será verdadeira para x = 3 porque, para x = 3, as expressões algébricas 5x - 6 e 2x + 3 possuem o mesmo valor numérico que será 9, ao passo que, para qualquer outro valor atribuído à x, seus valores numéricos serão diferentes.
Toda equação possui dois membros, que são os membros da igualdade que a constitui.
Na equação 5x - 6 = 2x + 3 temos: 5x - 6 primeiro membro e 2x+ 3 segundo membro.
Chamamos de raiz de uma equação, ao valor encontrado para a variável ou incógnita x, que torna a equação uma igualdade. No exemplo dado, a raiz da equação 5x - 6 = 2x +3 é 3. Resolver uma equação do primeiro grau é determinar a sua raiz, que será o conjunto verdade ou conjunto solução da equação.
Na solução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações mas sempre resultando em equações equivalentes à equação inicial. Estas transformações são baseadas em alguns princípios que passaremos a estudá-los.
PRIMEIRO PRINCIPIO
Uma equação não se altera quando, aos seus dois membros, se soma ou subtrai, o mesmo numero.
Exemplo: Seja a equação: 5x - 8 = 3x. Somando-se 8 a ambos os membros da equação dada, teremos: 5x - 8 + 8 = 3x + 8.
Aplicação do Primeiro Princípio
Para passar um termo de um membro para outro membro de uma equação, troca-se o sinal desse termo.
Exemplo: Seja a equação 5-8 = 3x. Passando-se -8 para o segundo membro e 3x para o primeiro, resulta: 5x -3x = 8 que é uma equação equivalente a inicial
SEGUNDO PRINCÍPIO
Uma equação não se altera quando, os seus dois membros são multiplicados ou divididos pelo mesmo número, diferente de zero.
Exemplo: Seja a equação 2x/4 = 8
Multiplicando-se, por 4, os dois membros da equação, resulta: 2x = 32
Primeira Aplicação do Segundo Princípio
Este princípio nos permite eliminar os denominadores de uma equação, quando multiplicamos os dois membros da equação pelo menor múltiplo comum dos denominadores.
Regra Prática
a) determina-se o m.m.c. dos denominadores;
b) divide-se o m.m.c. pelo denominador de cada fração, obtendo-se, assim, quocientes;
c) multiplica-se esses quocientes pelos respectivos numeradores.
Observação: Um termo inteiro deverá ser considerado como uma fração, cujo denominador seja a unidade.
Exemplo: Seja a equação
a) o m.m.c. de 2 e 3 ć 6;
b) dividindo-se 6 por cada denominador teremos 3, 2, 6 c 6 por quocientes;
c) multiplicando-se esses quocientes pelos respectivos numeradores, resulta: 9x - 4x = 6x - 6 que é uma equação equivalente à equação dada.
Segunda Aplicação do Segundo Princípio
Uma equação não se altera, quando trocamos os sinais de todos os seus termos, porque, isso, equivale a multiplicar os dois membros da equação por -1.
Exemplo: Seja a equação: 3x - 9x = -12. Multiplicando-se toda a equação por -1 vem: -3x + 9x = 12 que é uma equação equivalente à equação dada.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1° GRAU
Baseados nos princípios estudados, devemos proceder da seguinte maneira:
1°) Elimina-se os denominadores, se houverem;
2°) Efetua-se as multiplicações indicadas;
3°) Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que estiverem no segundo membro;
4°) Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos independentes que estiverem no primeiro membro;
5°) Reduz-se os termos semelhantes;
6°) Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da Incógnita.
01) Resolver a equação: 8x - 5 = 3x + 10
Solução:
Passando 3x para o primeiro membro e -5 para o segundo, vem:
8x - 3x = 10 + 5
Relembre: Devemos trocar os sinais quando passamos um termo de um membro para outro.
Reduzindo os termos semelhantes, temos: 5x = 15
Dividindo toda equação pelo coeficiente da incógnita, resulta: x = 15/ 5, donde x = 3. Logo; V = {3}
02) Resolver a equação: 5x + 8 = 7x + 4
Solução:
Passando 7x para o primeiro membro e 8 para o segundo membro, resulta: 5x - 7x = 4 - 8.
Reduzindo a termos semelhantes, vem: -2x = 4.
Multiplicando toda equação por (-1), temos: 2x = 4,
Dividindo toda equação, pelo coeficiente da variável, resulta: x = 4/2, donde x = 2, Logo: V = {2}
Resolver as equações abaixo relacionadas:
03) 3x = 12
04) 6x - 36 = 0
05) 2x + 8 = 0
06) 3x - 6 = 3
07) 7x - 28 = 0
08) 2x - 3 = 0
09) 3x -25 = -x - 9
10) 5x - 5 = 2x + 4
11) 2x + 5 = 4x + 3
12) 2x + 3 = 3x - 4
Respostas:
03) V = {4} 08) V = {3/2}
04) V = {6} 09) V = {4}
05) V = {-4} 10) V = {3}
06) V = {3} 11) V = {1}
07) V = {4} 12) V = {7}
13) Resolver a equação: 4(x - 1) = 2(x + 4).
Solução:
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 4x - 4 = 2x + 8
Passando os termos que contém x para o primeiro membro e os que não os contém para o segundo, temos: 4x - 2x = 8 + 4
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 2x = 12
Dividindo toda a equação pelo coeficiente de x, temos: x = 12/2, donde x = 6. Então: V = {6}
14) Resolver a equação: 3(2x - 5) + 4(4 - x) = 0.
Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 6x - 15 + 16 - 4x = 0
Reduzindo os termos semelhantes, vem: 2x + 1 = 0
Transpondo o termo independente para o segundo membro, temos: 2x = -1.
Dividindo toda a equação por 2, resulta: x = -1/2, logo: S = {-1/2}
Resolver as equações abaixo relacionadas:
15) 3(x - 4) = 0
16) 3x - 4 = 2(x + 3)
17) 2(x - 3) = -3(x - 3)
18) 2(5 + 3x) = 5(x + 3)
19) 6(x + 1) - 5(x + 2) - 6 = 0
20) 7(x - 3) = 9(x + 1) - 38
21) 5(x - 3) - 4(x + 2) = 1 - 5x
22) 5(x + 1) + 6(x + 2) = 9(x + 3)
23) 4(5x - 3) - 64(3 - x) - 3(12x - 4) = 96
24) 10(x + 5) + 8(x +4) = 5(x + 13) + 121
Respostas
15) S = {4} 20) S = {4}
16) S = {10} 21) S = {4}
17) S = {3} 22) S = {5}
18) S = {5} 23) S = {6}
19) S = {10} 24) S = {8}
25) Resolver a equação:
Solução:
Eliminando os denominadores, vem: 6x - 4x = 6x - 6
Passando 6x para o primeiro membro, vem: 6x - 4x - 6x = -6
Reduzindo os termos semelhantes no primeiro membro, temos: -4x = -6.
Multiplicando toda a equação por -1, resulta 4x = 6.
Então: S = {3/2}
26) Resolver a equação:
Solução:
Eliminando os denominadores, temos: 2(x + 1) + 3(x + 2) = 48
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 2x + 2 + 3x +6 = 48.
Passando os termos independentes para o segundo membro, vem:
2x + 3x = 48 - 2 - 6.
Reduzindo os termos semelhantes temos: 5x = 40
Dividindo toda equação pelo coeficiente de x, resulta: x = 8
Logo, V= {8}.
Resolver as equações abaixo relacionadas:
}\,\,\,\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}=14 "\textbf{27)}\,\,\,\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}=14")
}\,\,\,x+\frac{x}{2}+\frac{3x}{4}=18 "\textbf{28)}\,\,\,x+\frac{x}{2}+\frac{3x}{4}=18")
}\,\,\,\frac{3x}{4}=\frac{5x}{2}-\frac{7}{2} "\textbf{29)}\,\,\,\frac{3x}{4}=\frac{5x}{2}-\frac{7}{2}")
}\,\,\,\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{7+2x}{3} "\textbf{30)}\,\,\,\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{7+2x}{3}")
}\,\,\,\frac{7x+4}{5}-x=\frac{3x-5}{2} "\textbf{31)}\,\,\,\frac{7x+4}{5}-x=\frac{3x-5}{2}")
}\,\,\,\frac{4x-6}{12}-\frac{3x-8}{4}=\frac{2x-9}{6}-\frac{x-4}{8} "\textbf{32)}\,\,\,\frac{4x-6}{12}-\frac{3x-8}{4}=\frac{2x-9}{6}-\frac{x-4}{8}")
}\,\,\,\frac{4x}{5}-\frac{5x}{4}+18=\frac{4x+1}{9} "\textbf{33)}\,\,\,\frac{4x}{5}-\frac{5x}{4}+18=\frac{4x+1}{9}")
}\,\,\,\frac{3x+1}{2}-\frac{2x}{3}=10+\frac{x-1}{6} "\textbf{34)}\,\,\,\frac{3x+1}{2}-\frac{2x}{3}=10+\frac{x-1}{6}")
}\,\,\,\frac{3x-2}{4}-\frac{4-x}{4}=2x+\frac{7x-2}{3} "\textbf{35)}\,\,\,\frac{3x-2}{4}-\frac{4-x}{4}=2x+\frac{7x-2}{3}")
}\,\,\,\frac{x+2}{3}-\frac{x-3}{4}=2-x-\frac{x-1}{2} "\textbf{36)}\,\,\,\frac{x+2}{3}-\frac{x-3}{4}=2-x-\frac{x-1}{2}")
Respostas:
27) V = {24} 32) V = {4}
28) V = {8} 33) V = {20}
29) V = {2} 34) V = {14}
30) V = {14} 35) V = {2}
31) V = {3} 36) V = {7}
Há duas espécies de igualdades algébricas: a identidade e a equação.
IDENTIDADE
E a igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às letras que a compõem. Assim, a igualdade (x + y)² = x² + 2xy + y² é uma identidade, porque qualquer que sejam os valores atribuídos às letras x e y, resultará uma igualdade numérica.
Exemplo:
Se a = 2 e b = 3, calcule (a + b)² = a² + 2ab + b²
(2 + 3)² = 2² + 2*2*3 + 3²
5² = 4 + 12 + 9 ⇒ 25 = 25
É a igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras que a compõem. Assim, a igualdade 5x - 6 = 2x + 3 é uma equação, porque ela só será verdadeira para x = 3 porque, para x = 3, as expressões algébricas 5x - 6 e 2x + 3 possuem o mesmo valor numérico que será 9, ao passo que, para qualquer outro valor atribuído à x, seus valores numéricos serão diferentes.
Toda equação possui dois membros, que são os membros da igualdade que a constitui.
Na equação 5x - 6 = 2x + 3 temos: 5x - 6 primeiro membro e 2x+ 3 segundo membro.
Chamamos de raiz de uma equação, ao valor encontrado para a variável ou incógnita x, que torna a equação uma igualdade. No exemplo dado, a raiz da equação 5x - 6 = 2x +3 é 3. Resolver uma equação do primeiro grau é determinar a sua raiz, que será o conjunto verdade ou conjunto solução da equação.
Na solução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações mas sempre resultando em equações equivalentes à equação inicial. Estas transformações são baseadas em alguns princípios que passaremos a estudá-los.
PRIMEIRO PRINCIPIO
Uma equação não se altera quando, aos seus dois membros, se soma ou subtrai, o mesmo numero.
Exemplo: Seja a equação: 5x - 8 = 3x. Somando-se 8 a ambos os membros da equação dada, teremos: 5x - 8 + 8 = 3x + 8.
Aplicação do Primeiro Princípio
Para passar um termo de um membro para outro membro de uma equação, troca-se o sinal desse termo.
Exemplo: Seja a equação 5-8 = 3x. Passando-se -8 para o segundo membro e 3x para o primeiro, resulta: 5x -3x = 8 que é uma equação equivalente a inicial
SEGUNDO PRINCÍPIO
Uma equação não se altera quando, os seus dois membros são multiplicados ou divididos pelo mesmo número, diferente de zero.
Exemplo: Seja a equação 2x/4 = 8
Multiplicando-se, por 4, os dois membros da equação, resulta: 2x = 32
Primeira Aplicação do Segundo Princípio
Este princípio nos permite eliminar os denominadores de uma equação, quando multiplicamos os dois membros da equação pelo menor múltiplo comum dos denominadores.
Regra Prática
a) determina-se o m.m.c. dos denominadores;
b) divide-se o m.m.c. pelo denominador de cada fração, obtendo-se, assim, quocientes;
c) multiplica-se esses quocientes pelos respectivos numeradores.
Exemplo: Seja a equação
a) o m.m.c. de 2 e 3 ć 6;
b) dividindo-se 6 por cada denominador teremos 3, 2, 6 c 6 por quocientes;
c) multiplicando-se esses quocientes pelos respectivos numeradores, resulta: 9x - 4x = 6x - 6 que é uma equação equivalente à equação dada.
Segunda Aplicação do Segundo Princípio
Uma equação não se altera, quando trocamos os sinais de todos os seus termos, porque, isso, equivale a multiplicar os dois membros da equação por -1.
Exemplo: Seja a equação: 3x - 9x = -12. Multiplicando-se toda a equação por -1 vem: -3x + 9x = 12 que é uma equação equivalente à equação dada.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1° GRAU
Baseados nos princípios estudados, devemos proceder da seguinte maneira:
1°) Elimina-se os denominadores, se houverem;
2°) Efetua-se as multiplicações indicadas;
3°) Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que estiverem no segundo membro;
4°) Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos independentes que estiverem no primeiro membro;
5°) Reduz-se os termos semelhantes;
6°) Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da Incógnita.
01) Resolver a equação: 8x - 5 = 3x + 10
Solução:
Passando 3x para o primeiro membro e -5 para o segundo, vem:
8x - 3x = 10 + 5
Relembre: Devemos trocar os sinais quando passamos um termo de um membro para outro.
Reduzindo os termos semelhantes, temos: 5x = 15
Dividindo toda equação pelo coeficiente da incógnita, resulta: x = 15/ 5, donde x = 3. Logo; V = {3}
02) Resolver a equação: 5x + 8 = 7x + 4
Solução:
Passando 7x para o primeiro membro e 8 para o segundo membro, resulta: 5x - 7x = 4 - 8.
Reduzindo a termos semelhantes, vem: -2x = 4.
Multiplicando toda equação por (-1), temos: 2x = 4,
Dividindo toda equação, pelo coeficiente da variável, resulta: x = 4/2, donde x = 2, Logo: V = {2}
03) 3x = 12
04) 6x - 36 = 0
05) 2x + 8 = 0
06) 3x - 6 = 3
07) 7x - 28 = 0
08) 2x - 3 = 0
09) 3x -25 = -x - 9
10) 5x - 5 = 2x + 4
11) 2x + 5 = 4x + 3
12) 2x + 3 = 3x - 4
Respostas:
03) V = {4} 08) V = {3/2}
04) V = {6} 09) V = {4}
05) V = {-4} 10) V = {3}
06) V = {3} 11) V = {1}
07) V = {4} 12) V = {7}
13) Resolver a equação: 4(x - 1) = 2(x + 4).
Solução:
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 4x - 4 = 2x + 8
Passando os termos que contém x para o primeiro membro e os que não os contém para o segundo, temos: 4x - 2x = 8 + 4
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 2x = 12
Dividindo toda a equação pelo coeficiente de x, temos: x = 12/2, donde x = 6. Então: V = {6}
14) Resolver a equação: 3(2x - 5) + 4(4 - x) = 0.
Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 6x - 15 + 16 - 4x = 0
Reduzindo os termos semelhantes, vem: 2x + 1 = 0
Transpondo o termo independente para o segundo membro, temos: 2x = -1.
Dividindo toda a equação por 2, resulta: x = -1/2, logo: S = {-1/2}
Resolver as equações abaixo relacionadas:
15) 3(x - 4) = 0
16) 3x - 4 = 2(x + 3)
17) 2(x - 3) = -3(x - 3)
18) 2(5 + 3x) = 5(x + 3)
19) 6(x + 1) - 5(x + 2) - 6 = 0
20) 7(x - 3) = 9(x + 1) - 38
21) 5(x - 3) - 4(x + 2) = 1 - 5x
22) 5(x + 1) + 6(x + 2) = 9(x + 3)
23) 4(5x - 3) - 64(3 - x) - 3(12x - 4) = 96
24) 10(x + 5) + 8(x +4) = 5(x + 13) + 121
Respostas
15) S = {4} 20) S = {4}
16) S = {10} 21) S = {4}
17) S = {3} 22) S = {5}
18) S = {5} 23) S = {6}
19) S = {10} 24) S = {8}
25) Resolver a equação:
Solução:
Eliminando os denominadores, vem: 6x - 4x = 6x - 6
Passando 6x para o primeiro membro, vem: 6x - 4x - 6x = -6
Reduzindo os termos semelhantes no primeiro membro, temos: -4x = -6.
Multiplicando toda a equação por -1, resulta 4x = 6.
Então: S = {3/2}
26) Resolver a equação:
Solução:
Eliminando os denominadores, temos: 2(x + 1) + 3(x + 2) = 48
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 2x + 2 + 3x +6 = 48.
Passando os termos independentes para o segundo membro, vem:
2x + 3x = 48 - 2 - 6.
Reduzindo os termos semelhantes temos: 5x = 40
Dividindo toda equação pelo coeficiente de x, resulta: x = 8
Logo, V= {8}.
Respostas:
27) V = {24} 32) V = {4}
28) V = {8} 33) V = {20}
29) V = {2} 34) V = {14}
30) V = {14} 35) V = {2}
31) V = {3} 36) V = {7}
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