Como já vimos, Sistema de Numeração, é o conjunto de processos empregados para se representar os números.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base.
O número de algarismos de um sistema é igual a base. Veremos, a seguir, como se passa um numero escrito em um certo sistema, numa base para outro sistema, em outra base.
PASSAR UM NÚMERO DO SISTEMA DE BASE 10 PARA UM SISTEMA DE BASE QUALQUER
01) Escrever o número 370 no sistema de base 8.
Solução:
370 |8
50 46 |8
2 6 5 (562)8
02) O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema de base 6.
Solução:
584 |6
44 97 |6
2 37 16 |6
1 4 2 (2412)6
Veja como fizemos:
Dividimos o número, pela base desejada, a seguir, dividimos o quociente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos até encontrarmos um quociente menor que a base. O número escrito nova base, será então formado pelo último quociente seguido dos restos encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o primeiro.
03) O número 83452 está escrito no sistema de base decimal, escreva-o no sistema de base 7.
Solução:
83452 |7
64 11921 |7
15 49 1703 |7
12 21 30 234 |7
5 0 23 33 34 |7
2 5 6 4
R: (465205)7
04) O número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no sistema de base 4.
R: (0113330)4
05) O número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no sistema de base 5.
R: (231342)5
06) Escreva o número 288 no sistema de base 3.
R: (31200)3
07) Escreva o número 43456 no sistema de base 6.
R: (533103)6
PASSAR UM NÚMERO DO SISTEMA DE BASE QUALQUER PARA O SISTEMA DE BASE DECIMAL
08) O número (562)8 está escrito no sistema de base 8. Escreva-o no sistema de base decimal.
Solução:
(562)8 = 2x80 + 6x8¹ + 5x8²
= 2 + 48 + 320
= 370
09) O número (2412)6 está escrito no sistema de base 6. Escreva-o no sistema de base 10.
Solução
(2412)6 = 2x60 + 1x6¹ + 4x6² + 2x6³
= 2 + 6 + 144 + 432
= 584
Veia como se faz:
Escreve-se uma SOMA, onde as parcelas são
O algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero;
O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um;
O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois;
O algarismo das milhares, vezes à base elevada a três;
E assim por diante...
10) Escreva o número (213)4 na base 10.
R: 39
11) Escreva o número (2416)3 na base 10.
R: 99
12) O número (465205)7 está escrito no sistema de base 7. Escreva-o no sistema de base 10.
R: 83452
13) O número (2001)2 está escrito no sistema de base 2. Escreva-o no sistema de base 10
R: 17
Passar um Número Escrito em uma Base Qualquer para Outra Base Diferente da Decimal
14) Escrever o número (213)4 para um sistema de base 5.
Veja como se faz:
Passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o número resultante para a base desejada.
Solução:
i) Passando (213)4 para a base decimal, temos:
(213)4 = 3x40 + 1x4¹ + 2x4²
= 3 + 4 + 32
= 39
ii) Agora, passaremos o número 39, que está escrito na base 10, para a base pedida, no caso, a base 5.
39 |5
4 7 |5
2 1
R: (124)5
15) Escreva o número (2132)3 na base 4.
R: (422)4
16) Escreva o número (1212)5 na base 2.
R: (510102)2
17) Escreva o número (102)5 na base 4.
R: (122)4
18) Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do sistema decimal se escreve 32.
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(32)x = 23
2*x0 + 3*x¹ = 23
2 + 3x = 23
3x = 21
x = 7
19) Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do sistema decimal se escreve 63.
R: 7
20) Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do sistema de base 10, se escreve 46.
R: 8
21) Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do sistema decimal se escreve 337.
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(337)x = 223
7*x0 + 3*x¹ + 3*x² = 223
7 + 3x + 3x² = 223
3x + 3x² = 216
3x² + 3x - 216 = 0
Resultou uma equação do 2° grau que resolvida nos dá:
x' = -9 e x" = 8. Desprezamos a raiz negativa, então a base procurada será 8.
22) Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do sistema decimal se escreve 123.
R: 5
23) Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do sistema decimal, se escreve 145.
R: 9
24) Em que base está escrito o número 57 sabendo que no sistema de base decimal se escreve 72.
R: 13
25) Qual é a base do sistema de numeração em que o número 144 na base 10, se escreve 100.
R: 12
26) Qual é a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16.
R: 11
27) Um número de dois algarismos, escrito na base 7, escreve-se na base 9 com os mesmos algarismos em ordem inversa. Determinar esse número na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9.
Solução:Seja ab o número. Então temos:
(ab)7 = (ba)9
b*70 + a*7¹ = a*90 + b*9¹
b + 7a = a +9b
6a = 8b
3a = 4b
Para que a igualdade desses dois produtos exista, deveremos ter:
a = 4 e b = 3.
O número será: (43)7 ou (34)9
Na base 10 teremos: (43) = 3*70 + 4*7¹ = 3 + 28 = 31
(34)9 = 4*90 + 3*9¹ = 4 + 27 = 31
28) Um número de dois algarismos, escrito na base 3, escreve-se na base 5 com os mesmos algarismos escritos em ordem inversa. Determine esse número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5.
R: 7
29) Certo número de dois algarismos escrito no sistema decimal tem 7 para soma dos seus algarismos. Com a base 6, o número formado pelos mesmos algarismos, vale 16 unidades menos do que o primeiro. Achar esse primeiro numero.
R: 43
30) O número 23 se acha escrito em dois sistemas de numeração cuja bases diferem de duas unidades. Achar essas bases, sabendo que a soma dos dois números é 34.
R: 6 e 8
31) Escrever a fração 37/51 na base 8.
Solução:
Passa-se separadamente, o numerador e o denominador, para a base 8
i) 37 |8
5 4
37 = (45)8
ii) 51 |8
3 6
51 = (63)8
No que resulta: 37/51 = 45/63 (8)
32) Escreva a fracão 43/22 na base 9.
R: 47/24 (9)
33) Escreva a fracão 43/22 na base 5.
R: 73/52 (5)
34) Efetuar a divisão de (21374)8 por 5.
Solução:
(2 1 3 7 4)8 |5
(21)8 = 17 3377
(23)8 = 19
(47)8 = 39
(44)8 = 36
(21)8 = 1*80 + 2*81 = 1 + 16 =17
(23)8 = 3*80 + 2*81 = 3 + 16 = 19
(47)8 = 7*80 + 4*81 = 7 + 32 = 39
(44)8 = 4*80 + 4*81 = 4 + 32 = 36
R: Quociente 3377 e Resto 1
35) Calcule o quociente e o resto da divisão de (3414)4 por 6.
R: Quociente 4548 e Resto 4
36) O número (7513)8 está escrito na base 8. Calcule o resto da sua divisão por 3.
R: 0
37) Calcule o quociente e o resto da divisão de (2632)6 por 4.
R: Quociente 435 e Resto 0
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