a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuídas de uma quantidade qualquer.
Exemplos: Uma peça de pano, um rolo de barbante.
b) Descontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou diminuídas de uma quantidade determinada.
Exemplos: Uma porção de bolas, um grupo de meninos.
c) Homogêneas: São as grandezas da mesma espécie.
Exemplos: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas.
d) Heterogêneas: São as grandezas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas.
UNIDADE: É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbitrária, mas é necessário que seja perfeitamente definida.
CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: Os números se classificam em:
I) POR SUA NATUREZA:
a) Concreto: É o número que determina a espécie de unidade a que se refere.
Exemplos: 3 bolas; 5 cadernos
b) Abstrato: É o número que não determina a espécie de unidade a que
se refere.
Exemplos: 6, 4, 7.
II) POR SUA ESPÉCIE
a) Homogêneo: É o número que indica coisas da mesma espécie.
Exemplos: 2 lápis e 3 lápis.
b) Heterogêneo: É o número que indica coisas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 4 livros.
III) PELAS PARTES QUE INDICAM
a) INTEIRO: É o número que consta só de unidades.
Exemplos: 3 cadernos, 6 livros.
Os números inteiros podem ser:
i) Simples: É o número formado de um só algarismo.
Exemplos: 3, 5, 7.
ALGARISMOS são os símbolos que representam os números.
ii) Composto: É o número formado por dois ou mais algarismos.
Exemplos: 26, 138, 1435.
b) FRACIONÁRIO: É o número que indica uma ou mais partes da unidade.
| Exemplos: | |
c) MISTO: É o número formado por um número inteiro e um número fracionário.
Se classificam em:
Decimais: 5,3; 9,3535...
O número abstrato, isto é, aquele que não determina a espécie de unidade, é o verdadeiro número, pois o concreto é constituído do número abstrato, ligado à natureza da unidade escolhida.
O conjunto de processos empregados para se representar os números constitui o que se chama de SISTEMA DE NUMERAÇÃO.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base, isto é, pelo número de unidades de uma ordem que formam uma unidade de ordem imediatamente superior. O número de algarismos de um sistema de numeração é igual à base.
O sistema universalmente adotado é o decimal. Nesse sistema, dez unidades de uma ordem, formam uma unidade de ordem imediatamente superior. Assim, dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam uma centena.
A numeração escrita, tendo como base esse sistema, se norteia no seguinte princípio: "Qualquer algarismo escrito à esquerda de outro, vale dez vezes esse outro algarismo".
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: Os algarismos 1,2,3, 4, 5,6, 7, 8 e 9 são denominados significativos. Um algarismo significativo tem dois valores:
Valor Absoluto: É o valor que o algarismo possui quando escrito isoladamente. O algarismo 5, como valor absoluto, vale sempre 5, o algarismo 7, sozinho, vale sempre 7; e assim por diante.
Valor Relativo: É o valor que o algarismo possui de conformidade
com o lugar que ele ocupa no número. Assim, no número 327, o 7 vale sete unidades, o 2 vale duas dezenas e o 3 vale três centenas.
VEJAMOS ALGUNS TIPOS DE PROBLEMAS RELATIVOS AOS NÚMEROS
01) De 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do maior número o menor, e somarmos uma unidade.
789-345 = 444 → 444 + 1 = 445 números
02) De 480 a 720 incluídos esses números, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem.
Solução: 720-480 = 240 → 240 + 1 = 241 números
03) De 371 a 840 incluídos esses números, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem.
R: 470
04) De 31 até 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem, incluindo esses números.
R: 670
05) De 345 a 789 excluídos esses números, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor e diminuirmos uma unidade.
789-345 = 444 → 444 - 1 = 443 números
12) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números naturais de 1 até 88.
Solução:
i) De 1 a 9, temos 9-1 = 8 → 8 + 1 = 9 números de um algarismo, logo serão necessários 9 x 19 algarismos.
ii) De 10 a 88, temos 88 - 10 = 78 → 78+ 1 = 79 números de dois algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos, logo serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos.
13) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever todos os números naturais de 30 a 176.
R: 371
14) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever desde 31 até 245.
R: 576
15) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 30 até 91.
R: 124
16) Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37 até 239.
R: 546
17) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive.
R: 2.694
18) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 7 a 32.427, inclusive.
R: 151.023
19) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de três algarismos.
R: 2.700
20) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de cinco algarismos.
R: 450.000
21) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de sete algarismos.
R: 63.000.000
22) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números pares de 6 até 281 inclusive.
Solução:
Entre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algarismo, que são o 6 e o 8.
i) De 10 até 99 existem: 99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 45 são pares, de dois algarismos.
ii) De 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números, dos quais 91 são pares, de três algarismos.
Então, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos:
2x1 = 2
45 x 2 = 90
91 x 3 =273
Que somando teremos 365 algarismos.
23) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os
números ímpares de 5 até 175 inclusive.
R: 207
24) Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significativos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluídos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu
R: 5.814.552
25) Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algarismos foram necessários.
Solução:
Da página 1 até a 9 foram utilizados 9-1 = 8 → 8 + 1 = 9
números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos
Solução:
i) De 1 a 9, temos 9-1 = 8 → 8 + 1 = 9 números de um algarismo, logo serão necessários 9 x 19 algarismos.
ii) De 10 a 88, temos 88 - 10 = 78 → 78+ 1 = 79 números de dois algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos, logo serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos.
13) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever todos os números naturais de 30 a 176.
R: 371
14) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever desde 31 até 245.
R: 576
15) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 30 até 91.
R: 124
16) Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37 até 239.
R: 546
17) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive.
R: 2.694
18) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 7 a 32.427, inclusive.
R: 151.023
19) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de três algarismos.
R: 2.700
20) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de cinco algarismos.
R: 450.000
21) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de sete algarismos.
R: 63.000.000
22) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números pares de 6 até 281 inclusive.
Solução:
Entre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algarismo, que são o 6 e o 8.
i) De 10 até 99 existem: 99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 45 são pares, de dois algarismos.
ii) De 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números, dos quais 91 são pares, de três algarismos.
Então, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos:
2x1 = 2
45 x 2 = 90
91 x 3 =273
Que somando teremos 365 algarismos.
23) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os
números ímpares de 5 até 175 inclusive.
R: 207
24) Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significativos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluídos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu
R: 5.814.552
25) Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algarismos foram necessários.
Solução:
Da página 1 até a 9 foram utilizados 9-1 = 8 → 8 + 1 = 9
números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos
26) Em um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão necessários para enumera-las.
R: 342
27) Em um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão necessários para enumerá-las.
R: 282
28) Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enumerá-las?
R: 9.265
29) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algarismos. Calcular quantas páginas tem esse livro.
Solução:
Para enumerar as 9 primeiras páginas usaram-se: 9x1 = 9 algarismos.
Para enumerar as 90 páginas seguintes usaram-se: 90x2 = 180 algarismos
Veja que, até agora, já usamos 180 + 9 = 189 algarismos.
Temos: 270 - 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enumerar páginas de três algarismos. Logo, 81:3 = 27 páginas. O total de
páginas será, portanto de: 9 + 90 + 27 = 126
30) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 229
31) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 468
32) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 3.421 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 1.132
33) Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30. Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $ 0,05 por algarismo?
R: 138
34) Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum, devendo ganhar $ 5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse trabalho $ 1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum.
R: 150
35) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... Determine o algarismo que ocupa o 1173° lugar.
Solução
i) De 1 a 9 escreve-se: 9x1 = 9 algarismos
ii) De 10 a 99 escreve-se 90x2 = 180 algarismos.
Então, até o número 99 escreve-se 189 algarismos. A partir do 100, os números são de três algarismos. Logo: 1173-189 = 984
Então, 984:3 = 328 números de três algarismos. Conta-se, pois, até o número 99 + 328 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173° lugar é o 7.
36) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 1200° lugar.
R: 6
37) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os algarismos, calcule o algarismo que ocupa o 1536° lugar.
R: 8
38) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os algarismos, qual será o algarismo que ocupa o 3456° lugar.
R: 8
39) Escrevendo-se a sucessao dos números naturais, sem separar os algarismos, determine o algarismo que ocupa o 2342° lugar.
Solucão:
i) De 1 a 9 são 9 números de um algarismo. Logo, vocè utiliza 9 algarismos.
ii) De 10 a 99 sao 90 números de dois algarismos. Logo, voce utiliza 180 algarismos.
Veja, que ate agora, utilizamos 189 algarismos. Como são 2342 algarismos, ainda faltam 2342 - 189 = 2153
Entao: 2153÷3, termos:
2153|3
05 717
23
2
717 números de 3 algarismos Logo, até agora, temos: 9 + 90 + 717 + 816
Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos para você escrever o numero 817.
Se o resto tivesse sido 1 você só poderia escrever o 8, mas como sobraram 2 algarismos; do número 817 você pode escrever o 8 e o 1.
Então, o algarismo que ocupa o 2342° lugar, é o 1.
40) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais sem separar os algarismos, determine o algarismo que ocupa o 985° lugar.
R: 3
41) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os algarismos, determine o algarismo que ocupa o 1234° lugar.
R: 4
42) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, determine o 60° algarismo escrito.
R: 3
43) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, qual é o 500° algarismo escrito.
R: 0
44) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, determine o 1800° algarismo) escrito.
R: 6
45) Determinar o número de vezes que o algarismo 8 ocupa a posição das unidades; das dezenas; das centenas, na sucessão natural dos números inteiros de 1 até 10n.
Solução:
Como algarismo das unidades, o número 8 aparecerá de 10 em 10.
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10n, ele deverá aparecer
10n:10 = 10n-1 vezes como algarismo das unidades.
Como algarismo das dezenas ele aparecerá nos 10 números de cada centena terminados em 80, 81, 82, ..., 89.
Olhe: Deve-se considerar, as primeiras centenas, os números 080, 081, 082, 083.,.., 089.
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10n, ele deverá aparecer 10x10n :10² = 10n+1:10² = 10n-1 vezes como algarismo das dezenas
Como algarismo das centenas o número 8 aparecerá nos 100 números de milhares terminados por 800, 801, 802,. 899.
Olhe: Devemos considerar, como primeiros milhares, os números 0800, 0801, 0802, ..., 0899
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", e como existe
10n÷10³ = 10n-3 milhares ele aparecerá 100x10n-3 = 10²x10n-3 = 10n-1 vezes como algarismo das centenas.
Veja com Atenção:
Para a ordem das unidades, das dezenas, das centenas, dos milhares e assim por diante, um algarismo qualquer aparecerá 10n-1 vezes em cada ordem.
46) Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na sucessão dos números de 1 até 100.000.
Solução:
De 1 até 100.000 equivale a de 1 até 105
Como algarismo das unidades aparece 10n-1 , isto é, 105-1 = 104.
Como algarismo das dezenas aparece 10n-1 , isto é, 105-1 = 104.
Como algarismo das centenas aparece 10n-1 , isto é, 105-1 = 104.
Como algarismo de milhar também aparece 104.
Conclui-se que, de 1 até 105, o algarismo 3 aparece 5x104 = 5x10.000 = 50.000 vezes.
47) Determine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão dos números de 1 até 1.000.
R: 300
48) Determine o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números de 1 até 10.000.
R: 5.000
49) Determinar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão dos números de 1 até 100.000.
R: 50.000
50) Determinar o número de vezes que o algarismo 7 ocupa a posição das dezenas na sucessão dos números de 1 até 10.000.
R: 1.000
51) Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes aparecerá o algarismo 8.
Solução:
Decompondo-se o número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37.
Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, senão vejamos: 508 - 518 - 528.
Na parcela relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figurou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em cada centena. Figurou, portanto: 5x(10 + 10) = 100 vezes.
Nas centenas não figurou nenhuma vez, isto porque, ao escrevermos o último número 537, não havíamos chegado a empregar o algarismo 8, como algarismo das centenas.
Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece 3 + 100 = 103 vezes quando se escreve de 1 até 537.
52) Determinar o número de vezes que o algarismo 5 aparece quando se escreve de 1 até 537.
R: 142
53) Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando se escreve de 1 até 327.
R: 62
54) Um aluno escreveu todos os números inteiros desde 1 até 2.850. Determine quantas vezes ele escreveu o algarismo sete.
R: 865
55) Que alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero entre os algarismos 3 e 4.
Veja com Atenção:
Intercalando-se zeros entre os algarismos de um número o aumento que sofre o número será igual ao PRODUTO da parte do número que fica à esquerda dos zeros intercalados, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que ficam a direita dos zeros intercalados; por tantos noves quantos forem os zeros intercalados
Solução:
23.000x9 = 207.000, aumento sofrido.
Senão vejamos: 230.486 - 23.486 = 207.000
56) Que alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros entre os algarismos 5 e 6.
Solução:
34.500x99 = 3.415.500, aumento sofrido
Senão vejamos: 3.450.067 - 34.567 = 3.415.500.
57) Que alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero entre os algarismos 5 e 4.
R: 22.500
58) Que alteração sofre o número 1957 quando intercalamos dois zeros entre os algarismos 9 e 5.
R: 188.100
59) Que alteração sofre o número 678, quando se intercala um zero entre os algarismos 6 e 7.
R: 54.000
60) Qual a 1732° letra da sequência: ABCDEABCDEABCDEABCD...
Solução:
Veja que a sequência é formada por ABCDE seguido de ABCDE, isto é, de 5 em 5 letras. Logo, se dividirmos 1732 por 5, teremos:
1732 |5
23 346
32
2
De onde se conclui, que escrevemos a sequencia ABCDE, 346 vezes. Mas, veja que a divisão não foi exata: sobraram 2 letras, então você só poderá escrever da próxima sequência as letras AB. Logo, a letra que ocupa 1732ª é a letra B.
61) Qual a 2080ª letra da sequencia: DCABDCABDCABDCA...
R: B
62) Qual a 1993ª letra da sequencia: ABCDEDCBABCDEDCBABCDEDCBABCD...
R: A
63) Qual a 1039ª letra da sequência: ABCDEDCABCDEDCABCDEDCAB...
R: C
64) Determine a letra que ocupa a 1473 da seqüencia: EFGHCDEFGHCD...
R: E
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